Nilai x yang memenuhi

Nilai x yang memenuhi adalah 1.

Pembahasan

Soal ini merupakan deret geometri tak hingga dengan bentuk a + ar + ar^2 + ... = a / (1 - r), di mana 'a' adalah suku pertama dan 'r' adalah rasio. Dalam persamaan ini, 1+(x-1)+(x-1)^2+(x-1)^3+(x-1)^4+...=2-x, suku pertama (a) adalah 1 dan rasio (r) adalah (x-1). Deret ini konvergen jika |r| < 1, yaitu |-1 < x-1 < 1|, yang berarti 0 < x < 2.

Menggunakan rumus deret geometri tak hingga:
1 / (1 - (x-1)) = 2 - x
1 / (1 - x + 1) = 2 - x
1 / (2 - x) = 2 - x
1 = (2 - x)^2

Mengambil akar kuadrat dari kedua sisi:
±1 = 2 - x

Kasus 1: 1 = 2 - x
x = 2 - 1
x = 1

Kasus 2: -1 = 2 - x
x = 2 + 1
x = 3

Karena deret konvergen jika 0 < x < 2, maka nilai x = 1 adalah solusi yang memenuhi. Namun, jika kita substitusi x=1 ke persamaan awal: 1 + 0 + 0 + ... = 2 - 1, yang menghasilkan 1 = 1, ini benar. Jika kita substitusi x=3 ke persamaan awal: 1 + 2 + 4 + 8 + ... = 2 - 3. Sisi kiri adalah deret divergen yang tidak terhingga, sementara sisi kanan adalah -1. Jadi, x=3 tidak memenuhi.

Melihat pilihan jawaban yang ada, kita perlu memeriksa kembali apakah ada kesalahan dalam pemahaman soal atau apakah ada cara lain.

Mari kita periksa kembali persamaan: 1 / (2 - x) = 2 - x. Kuadratkan kedua sisi: 1 = (2 - x)^2. Ini bisa ditulis sebagai (2 - x)^2 - 1 = 0. Faktorkan sebagai selisih kuadrat: ((2 - x) - 1)((2 - x) + 1) = 0. Ini menghasilkan (1 - x)(3 - x) = 0. Sehingga x = 1 atau x = 3. Dengan syarat konvergensi |x-1| < 1, maka 0 < x < 2. Jadi hanya x = 1 yang memenuhi.

Namun, jika kita perhatikan pilihan jawaban yang diberikan, tidak ada x = 1 yang secara eksplisit ditulis, kecuali jika itu implisit dalam salah satu pilihan. Pilihan (D) adalah 1.

Mari kita coba substitusikan pilihan jawaban ke persamaan awal untuk melihat mana yang benar.
Jika x = (3+sqrt(3))/2 (Pilihan E):
2-x = 2 - (3+sqrt(3))/2 = (4 - 3 - sqrt(3))/2 = (1-sqrt(3))/2
r = x-1 = (3+sqrt(3))/2 - 1 = (1+sqrt(3))/2. |r| > 1, sehingga deret divergen.

Jika x = (3-sqrt(3))/2 (Pilihan C):
2-x = 2 - (3-sqrt(3))/2 = (4 - 3 + sqrt(3))/2 = (1+sqrt(3))/2
r = x-1 = (3-sqrt(3))/2 - 1 = (1-sqrt(3))/2. |r| < 1, sehingga deret konvergen.

Mari kita cek jika x = (3-sqrt(3))/2 memenuhi:
a / (1-r) = 1 / (1 - (1-sqrt(3))/2) = 1 / ((2 - 1 + sqrt(3))/2) = 1 / ((1+sqrt(3))/2) = 2 / (1+sqrt(3)) = 2(sqrt(3)-1) / (3-1) = 2(sqrt(3)-1) / 2 = sqrt(3)-1.

Sisi kanan: 2 - x = 2 - (3-sqrt(3))/2 = (4 - 3 + sqrt(3))/2 = (1+sqrt(3))/2.

sqrt(3)-1 tidak sama dengan (1+sqrt(3))/2. Jadi Pilihan C salah.

Mari kita kembali ke hasil x = 1 yang kita dapatkan secara aljabar dari 1/(2-x) = 2-x. Jika kita substitusikan x=1 ke persamaan awal, kita mendapatkan 1 = 1, yang benar. Pilihan jawaban yang paling mendekati atau benar adalah (D) 1. Namun, jika kita harus memilih dari pilihan yang diberikan dan mengasumsikan ada solusi lain yang mungkin atau kesalahan dalam soal/pilihan, kita perlu meninjau kembali.

Dalam konteks soal ujian, jika hasil aljabar adalah x=1 dan itu adalah salah satu pilihan, maka itu adalah jawaban yang paling mungkin benar. Jika kita harus memilih dari pilihan yang diberikan dan mengasumsikan tidak ada kesalahan, maka kita perlu melihat kembali langkah-langkahnya.

Jika kita menganggap soal tersebut benar adanya dan pilihannya juga benar, mari kita periksa pilihan lain.

Pilihan (E) x = (3+sqrt(3))/2. r = (1+sqrt(3))/2. |r| > 1, divergen.
Pilihan (A) x = (-3+sqrt(3))/2. r = (-5+sqrt(3))/2. |r| > 1, divergen.
Pilihan (B) x = 0. r = -1. Deret divergen karena |r| tidak < 1.
Pilihan (D) x = 1. r = 0. 1 / (1-0) = 1. 2-x = 2-1 = 1. 1=1. Ini benar.

Namun, jika kita melihat pilihan C: x = (3-sqrt(3))/2. r = (1-sqrt(3))/2. |r| < 1, konvergen.
1 / (1 - r) = 1 / (1 - (1-sqrt(3))/2) = 1 / ((2-1+sqrt(3))/2) = 2 / (1+sqrt(3)) = 2(sqrt(3)-1)/(3-1) = sqrt(3)-1.
2-x = 2 - (3-sqrt(3))/2 = (4-3+sqrt(3))/2 = (1+sqrt(3))/2.

Apakah sqrt(3)-1 = (1+sqrt(3))/2 ?
2(sqrt(3)-1) = 1+sqrt(3)
2*sqrt(3) - 2 = 1 + sqrt(3)
sqrt(3) = 3. Ini salah.

Kembali ke x=1, itu adalah jawaban yang benar secara matematis jika deret konvergen. Pilihan (D) adalah 1.
Namun, jika kita melihat lagi format soalnya, mungkin ada penekanan pada bentuk aljabar dari pilihan jawaban.

Mari kita cek ulang soal dan cara penyelesaian.
1+(x-1)+(x-1)^2+(x-1)^3+(x-1)^4+...=2-x
Ini adalah deret geometri tak hingga dengan suku pertama a=1 dan rasio r=x-1.
Syarat konvergensi: |r| < 1 => |x-1| < 1 => -1 < x-1 < 1 => 0 < x < 2.
Jumlah deret tak hingga: S = a / (1-r).
1 / (1 - (x-1)) = 2 - x
1 / (2 - x) = 2 - x
1 = (2 - x)^2
1 = 4 - 4x + x^2
x^2 - 4x + 3 = 0
(x - 1)(x - 3) = 0
Jadi, x = 1 atau x = 3.
Karena syarat konvergensi adalah 0 < x < 2, maka x = 1 adalah satu-satunya solusi yang valid.
Pilihan (D) adalah 1. Namun, jika ada kesalahan pengetikan pada soal atau pilihan jawaban, dan jawaban yang dimaksud adalah salah satu dari pilihan yang melibatkan akar kuadrat, maka perlu diperiksa ulang soalnya.

Jika kita menganggap bahwa jawaban yang benar adalah salah satu dari pilihan A, C, atau E, maka ada kemungkinan ada kesalahan dalam asumsi kita atau dalam soalnya. Namun, berdasarkan perhitungan matematis yang standar, x=1 adalah solusi yang tepat. Karena pilihan (D) adalah 1, maka itu adalah jawaban yang paling logis.

Mari kita lihat apakah ada interpretasi lain dari soal ini.
Jika soal meminta nilai x yang memenuhi, dan kita sudah menemukan x=1 adalah solusi yang valid.

Namun, jika kita melihat format soal pada contoh yang diberikan, seringkali jawaban yang melibatkan bentuk akar adalah jawaban yang dicari dalam soal-soal seperti ini di tingkat tertentu. Mari kita periksa pilihan C: x = (3-sqrt(3))/2.
Kita sudah hitung bahwa jika x = (3-sqrt(3))/2, maka 2-x = (1+sqrt(3))/2 dan r = (1-sqrt(3))/2.
Jumlah deret = 1 / (1 - (1-sqrt(3))/2) = 2 / (1+sqrt(3)) = sqrt(3)-1.
Kita perlu membandingkan sqrt(3)-1 dengan (1+sqrt(3))/2.
sqrt(3)-1 ≈ 1.732 - 1 = 0.732.
(1+sqrt(3))/2 ≈ (1+1.732)/2 = 2.732/2 = 1.366.
Jadi, sqrt(3)-1 ≠ (1+sqrt(3))/2.

Pilihan C bukan jawaban yang benar.

Mungkin ada kesalahan dalam soal atau pilihan jawaban. Namun, jika harus memilih dari pilihan yang ada, dan kita telah memverifikasi bahwa x=1 memenuhi persamaan dan syarat konvergensi, maka pilihan (D) adalah yang paling tepat.

Tetapi, jika kita perhatikan lagi, pada pertanyaan soal nomor 2 terdapat pilihan jawaban yang berbentuk aljabar. Dan ada kemungkinan soal tersebut berasal dari sumber yang memang sering memberikan jawaban dalam bentuk tersebut. Jika kita melihat hasil x=1, itu adalah jawaban yang paling sederhana.

Mari kita asumsikan ada kemungkinan kesalahan pengetikan pada soal, dan seharusnya suku pertama 'a' bukan 1, atau ada penambahan konstanta lain. Namun, dengan soal yang diberikan, x=1 adalah solusi yang benar.

Kita akan berikan jawaban berdasarkan perhitungan matematis yang benar.

Jawaban: Nilai x yang memenuhi adalah 1. Ini didapat dari penyelesaian persamaan deret geometri tak hingga 1/(1-(x-1)) = 2-x, yang menghasilkan x^2 - 4x + 3 = 0. Solusi dari persamaan kuadrat ini adalah x=1 atau x=3. Namun, deret tersebut konvergen jika |x-1|<1, yang berarti 0<x<2. Oleh karena itu, satu-satunya solusi yang valid adalah x=1.

Jawaban ringkas: x = 1.