Nilai x yang memenuhi persamaan 5/(akar(x-1))+akar(x+4)/2=2

5

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan persamaan 5/(akar(x-1))+akar(x+4)/2=2 akar(x-1).
Langkah 1: Pindahkan semua suku yang mengandung akar(x-1) ke satu sisi.
5/(akar(x-1)) - 2 akar(x-1) = -akar(x+4)/2

Langkah 2: Samakan penyebut di sisi kiri.
(5 - 2(x-1))/(akar(x-1)) = -akar(x+4)/2
(5 - 2x + 2)/(akar(x-1)) = -akar(x+4)/2
(7 - 2x)/(akar(x-1)) = -akar(x+4)/2

Langkah 3: Kalikan kedua sisi dengan 2 * akar(x-1) untuk menghilangkan penyebut.
2(7 - 2x) = -akar((x+4)(x-1))
14 - 4x = -akar(x^2 + 3x - 4)

Langkah 4: Kuadratkan kedua sisi untuk menghilangkan akar.
(14 - 4x)^2 = (-akar(x^2 + 3x - 4))^2
196 - 112x + 16x^2 = x^2 + 3x - 4

Langkah 5: Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat.
16x^2 - x^2 - 112x - 3x + 196 + 4 = 0
15x^2 - 115x + 200 = 0

Langkah 6: Bagi seluruh persamaan dengan 5 untuk menyederhanakan.
3x^2 - 23x + 40 = 0

Langkah 7: Faktorkan persamaan kuadrat.
(3x - 8)(x - 5) = 0

Langkah 8: Cari nilai x.
3x - 8 = 0  => x = 8/3
x - 5 = 0   => x = 5

Kita perlu memeriksa kedua nilai x ini ke persamaan asli untuk memastikan tidak ada akar negatif atau pembagian dengan nol.
Untuk x = 5:
5/(akar(5-1)) + akar(5+4)/2 = 5/akar(4) + akar(9)/2 = 5/2 + 3/2 = 8/2 = 4
2 akar(5-1) = 2 akar(4) = 2 * 2 = 4
Karena 4 = 4, maka x = 5 adalah solusi yang valid.

Untuk x = 8/3:
5/(akar(8/3-1)) = 5/(akar(5/3)))
Ini akan menghasilkan perhitungan yang lebih kompleks dan perlu diperiksa dengan hati-hati.
Namun, biasanya dalam soal seperti ini, akan ada satu solusi yang lebih mudah ditemukan atau salah satu solusi akan menyebabkan akar negatif atau pembagian dengan nol pada persamaan asli.
Mari kita periksa kondisi agar akar terdefinisi: x-1 >= 0 => x >= 1, dan x+4 >= 0 => x >= -4. Jadi x >= 1.
Kedua solusi (5 dan 8/3) memenuhi kondisi ini.

Mari kita kembali ke langkah 4: (14 - 4x) = -akar(x^2 + 3x - 4). Kuadratkan kedua sisi bisa menghasilkan solusi palsu jika (14 - 4x) negatif. 
Jika x = 5, 14 - 4(5) = 14 - 20 = -6. Maka -6 = -akar(25 + 15 - 4) = -akar(36) = -6. Ini benar.
Jika x = 8/3, 14 - 4(8/3) = 14 - 32/3 = (42 - 32)/3 = 10/3. Maka 10/3 = -akar((8/3)^2 + 3(8/3) - 4) = -akar(64/9 + 8 - 4) = -akar(64/9 + 4) = -akar((64+36)/9) = -akar(100/9) = -10/3. Ini salah.

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 5.