Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 1/logx - 1/(2logx - 1)

0 < x < 1 atau x > √10

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan 1/logx - 1/(2logx - 1) < 1, kita perlu menggunakan sifat-sifat logaritma dan aljabar.

Pertama, tentukan domain agar logaritma terdefinisi. Agar logx terdefinisi, x > 0. Agar 2logx - 1 ≠ 0, maka logx ≠ 1/2, yang berarti x ≠ √10.

Selanjutnya, kita bisa menyederhanakan pertidaksamaan:
Misalkan y = logx.
Pertidaksamaan menjadi: 1/y - 1/(2y - 1) < 1

Samakan penyebutnya:
(2y - 1 - y) / (y(2y - 1)) < 1
y - 1 / (2y^2 - y) < 1

Kurangkan 1 dari kedua sisi:
(y - 1) / (2y^2 - y) - 1 < 0
(y - 1 - (2y^2 - y)) / (2y^2 - y) < 0
(-2y^2 + 2y - 1) / (2y^2 - y) < 0

Kalikan dengan -1 dan balik arah pertidaksamaan:
(2y^2 - 2y + 1) / (2y^2 - y) > 0

Sekarang, kita analisis pembilang dan penyebut.

Pembilang: 2y^2 - 2y + 1. Diskriminannya adalah Δ = (-2)^2 - 4(2)(1) = 4 - 8 = -4. Karena koefisien y^2 positif (2) dan diskriminan negatif, maka 2y^2 - 2y + 1 selalu positif untuk semua nilai y.

Penyebut: 2y^2 - y = y(2y - 1). Penyebut ini bernilai nol ketika y = 0 atau y = 1/2.

Karena pembilang selalu positif, maka agar keseluruhan pecahan lebih besar dari 0, penyebut harus positif. 
Jadi, y(2y - 1) > 0.
Ini terjadi ketika y < 0 atau y > 1/2.

Kembalikan ke bentuk logaritma:
Jika y < 0, maka logx < 0, yang berarti x < 10^0, atau x < 1.
Jika y > 1/2, maka logx > 1/2, yang berarti x > 10^(1/2), atau x > √10.

Kita juga harus memperhatikan domain awal: x > 0 dan x ≠ √10.

Menggabungkan semua kondisi:
1. x > 0
2. x < 1
3. x > √10

Himpunan penyelesaiannya adalah x < 1 atau x > √10. Mengingat domain x > 0, maka solusi yang valid adalah 0 < x < 1 atau x > √10.