Panjang rusuk setiap bidang empat beraturan T.ABC sama

PQ = $8\sqrt{2}$ cm.

Pembahasan

Untuk menemukan panjang PQ, kita perlu menggunakan konsep jarak dalam ruang, khususnya pada bidang empat beraturan (tetrahedron). Bidang empat beraturan memiliki empat sisi yang semuanya merupakan segitiga sama sisi. Panjang rusuk setiap bidang empat beraturan T.ABC adalah 16 cm. P adalah pertengahan AT, dan Q adalah pertengahan BC.

Kita dapat menggunakan vektor atau koordinat untuk menyelesaikan masalah ini. Mari kita gunakan koordinat.

Misalkan titik A berada di titik asal (0, 0, 0).
Karena ini adalah bidang empat beraturan, kita bisa menempatkan titik-titik lainnya. Namun, cara yang lebih mudah adalah dengan membayangkan tetrahedron dan menggunakan sifat-sifat geometrisnya.

Alternatif lain adalah menggunakan teorema titik tengah pada segitiga. 

Dalam segitiga TBC, Q adalah pertengahan BC. 
Dalam segitiga ABC, Q juga pertengahan BC.

Mari kita pertimbangkan segitiga ABT. P adalah pertengahan AT. Jika kita tahu posisi relatif titik-titik ini, kita bisa menemukan PQ.

Untuk bidang empat beraturan, semua rusuk sama panjang, yaitu 16 cm.

Kita bisa membayangkan tetrahedron T.ABC. Sisi-sisi ABC dan TBC adalah segitiga sama sisi dengan sisi 16 cm.

Q adalah pertengahan BC. Dalam segitiga sama sisi TBC, TQ adalah garis tinggi sekaligus garis berat. Panjang TQ = $\sqrt{TB^2 - BQ^2}$. BQ = 16/2 = 8 cm.
$TQ = \sqrt{16^2 - 8^2} = \sqrt{256 - 64} = \sqrt{192} = \sqrt{64 \times 3} = 8\sqrt{3}$ cm.

Demikian pula, dalam segitiga sama sisi ABC, AQ adalah garis tinggi dan garis berat. Panjang AQ = $8\sqrt{3}$ cm.

Sekarang kita memiliki segitiga TAQ. AT = 16 cm. AQ = $8\sqrt{3}$ cm. TQ = $8\sqrt{3}$ cm. Segitiga TAQ adalah segitiga sama kaki.

P adalah pertengahan AT.
Kita ingin mencari panjang PQ.

Kita bisa menggunakan aturan kosinus pada segitiga TAQ untuk mencari cosinus sudut antara AT dan AQ, misalnya sudut TAQ. 

Aturan kosinus pada segitiga TAQ untuk sisi TQ:
$TQ^2 = AT^2 + AQ^2 - 2 \cdot AT \cdot AQ \cos(\angle TAQ)$
$(8\sqrt{3})^2 = 16^2 + (8\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 16 \cdot 8\sqrt{3} \cos(\angle TAQ)$
$192 = 256 + 192 - 256\sqrt{3} \cos(\angle TAQ)$
$0 = 256 - 256\sqrt{3} \cos(\angle TAQ)$
$256\sqrt{3} \cos(\angle TAQ) = 256$
$\cos(\angle TAQ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Sekarang, kita gunakan aturan kosinus pada segitiga PAQ untuk mencari PQ. P adalah pertengahan AT, jadi AP = 16/2 = 8 cm.
$PQ^2 = AP^2 + AQ^2 - 2 \cdot AP \cdot AQ \cos(\angle TAQ)$
$PQ^2 = 8^2 + (8\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$
$PQ^2 = 64 + 192 - 2 \cdot 8 \cdot 8$
$PQ^2 = 64 + 192 - 128$
$PQ^2 = 256 - 128$
$PQ^2 = 128$
$PQ = \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = 8\sqrt{2}$ cm.

Jadi, PQ sama dengan $8\sqrt{2}$ cm.