Panjang setiap rusuk ABCD.EFGH ialah akar(3), sedangkan

\(\sqrt{3}\)/2

Pembahasan

Untuk menentukan jarak dari titik A ke bidang QBF, kita perlu memahami posisi titik-titik dan bidang tersebut dalam kubus ABCD.EFGH.

Kubus memiliki panjang rusuk \(\sqrt{3}\).
Titik Q berada pada AD sehingga AQ = 1.

Kita perlu mencari jarak dari titik A ke bidang QBF. Bidang QBF dibentuk oleh titik Q, B, dan F.

Karena kita mencari jarak dari titik A ke bidang QBF, kita bisa menggunakan konsep proyeksi atau vektor.

Mari kita tempatkan kubus dalam sistem koordinat:
Misalkan A = (0, 0, 0)
B = (\(\sqrt{3}\), 0, 0)
C = (\(\sqrt{3}\), \(\sqrt{3}\), 0)
D = (0, \(\sqrt{3}\), 0)
E = (0, 0, \(\sqrt{3}\))
F = (\(\sqrt{3}\), 0, \(\sqrt{3}\))
G = (\(\sqrt{3}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{3}\))
H = (0, \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{3}\))

Titik Q berada pada AD, dan AQ = 1. Karena A=(0,0,0) dan D=(0,\(\sqrt{3}\),0), maka Q = (0, 1, 0).

Bidang QBF dibentuk oleh titik Q=(0, 1, 0), B=(\(\sqrt{3}\), 0, 0), dan F=(\(\sqrt{3}\), 0, \(\sqrt{3}\)).

Untuk mencari jarak dari titik A ke bidang QBF, kita bisa menggunakan rumus jarak dari titik ke bidang jika kita memiliki persamaan bidang tersebut.

Persamaan bidang dapat ditemukan menggunakan vektor normal. Vektor normal dapat diperoleh dari perkalian silang dua vektor yang terletak pada bidang tersebut, misalnya vektor QB dan vektor QF.

Vektor QB = B - Q = (\(\sqrt{3}\), 0, 0) - (0, 1, 0) = (\(\sqrt{3}\), -1, 0)
Vektor QF = F - Q = (\(\sqrt{3}\), 0, \(\sqrt{3}\)) - (0, 1, 0) = (\(\sqrt{3}\), -1, \(\sqrt{3}\))

Vektor Normal (N) = QB x QF
N = | i   j   k  |
    | \(\sqrt{3}\) -1  0  |
    | \(\sqrt{3}\) -1 \(\sqrt{3}\) |

N = i((-1)*\(\sqrt{3}\) - 0*(-1)) - j((\(\sqrt{3}\)*\(\sqrt{3}\)) - 0*\(\sqrt{3}\)) + k((\(\sqrt{3}\)*(-1)) - (-1)*\(\sqrt{3}\))
N = i(-\(\sqrt{3}\)) - j(3) + k(-\(\sqrt{3}\) + \(\sqrt{3}\))
N = -\(\sqrt{3}\)i - 3j + 0k
N = (- \(\sqrt{3}\), -3, 0)

Kita bisa menyederhanakan vektor normal dengan membaginya dengan -\(\sqrt{3}\), sehingga vektor normalnya menjadi (1, \(\sqrt{3}\), 0).

Persamaan bidang QBF adalah dalam bentuk ax + by + cz = d. Menggunakan titik Q(0, 1, 0) dan vektor normal (1, \(\sqrt{3}\), 0):
1(x - 0) + \(\sqrt{3}\)(y - 1) + 0(z - 0) = 0
x + \(\sqrt{3}\)y - \(\sqrt{3}\) = 0
x + \(\sqrt{3}\)y = \(\sqrt{3}\)

Sekarang, kita hitung jarak dari titik A(0, 0, 0) ke bidang x + \(\sqrt{3}\)y - \(\sqrt{3}\) = 0.
Rumus jarak dari titik (x0, y0, z0) ke bidang Ax + By + Cz + D = 0 adalah |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / \(\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}\).

Di sini, (x0, y0, z0) = (0, 0, 0), A = 1, B = \(\sqrt{3}\), C = 0, dan D = -\(\sqrt{3}\).

Jarak = |1(0) + \(\sqrt{3}\)(0) + 0(0) - \(\sqrt{3}\)| / \(\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + 0^2}\)
Jarak = | -\(\sqrt{3}\) | / \(\sqrt{1 + 3 + 0}\)
Jarak = \(\sqrt{3}\) / \(\sqrt{4}\)
Jarak = \(\sqrt{3}\) / 2