Parabola y^2-4y+8x-20=0 diputar dengan pusat O sejauh 90.

x^2 + 4x + 8y - 20 = 0

Pembahasan

Untuk mencari persamaan bayangan parabola setelah diputar 90 derajat dengan pusat O (0,0), kita perlu menggunakan aturan transformasi rotasi. Jika sebuah titik (x, y) dirotasikan sebesar 90 derajat berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal O(0,0), maka bayangannya adalah (-y, x).

Parabola awal: y^2 - 4y + 8x - 20 = 0

Kita perlu mengubah persamaan ini ke bentuk yang lebih mudah untuk diterapkan transformasi. Mari kita lengkapi kuadrat untuk y:
(y^2 - 4y + 4) - 4 + 8x - 20 = 0
(y - 2)^2 + 8x - 24 = 0
(y - 2)^2 = -8x + 24
(y - 2)^2 = -8(x - 3)

Ini adalah persamaan parabola dengan puncak di (3, 2) yang terbuka ke kiri.

Sekarang, mari kita terapkan transformasi rotasi 90 derajat. Jika (x, y) adalah titik pada parabola asli, maka bayangannya (x', y') adalah:
x' = -y
y' = x

Dari hubungan ini, kita dapat menyatakan x dan y dalam bentuk x' dan y':
y = -x'
x = y'

Substitusikan x = y' dan y = -x' ke dalam persamaan parabola awal:
(-x')^2 - 4(-x') + 8(y') - 20 = 0
(x')^2 + 4x' + 8y' - 20 = 0

Sekarang, kita ubah kembali notasi (x', y') menjadi (x, y) untuk menyatakan persamaan bayangan:
x^2 + 4x + 8y - 20 = 0

Untuk menyajikan dalam bentuk yang mirip dengan bentuk awal, kita bisa isolasi y:
8y = -x^2 - 4x + 20
y = (-1/8)x^2 - (4/8)x + 20/8
y = (-1/8)x^2 - (1/2)x + 5/2

Atau, kita bisa menyajikan dalam bentuk kuadrat:
(x + 2)^2 - 4 + 8y - 20 = 0
(x + 2)^2 + 8y - 24 = 0
(x + 2)^2 = -8y + 24
(x + 2)^2 = -8(y - 3)

Jadi, persamaan bayangan parabola setelah diputar 90 derajat dengan pusat O adalah x^2 + 4x + 8y - 20 = 0.