Parabola y=2x^2-px-10 dan y=x^2+px+5 berpotongan di titik

p = ±1

Pembahasan

Dua parabola berpotongan ketika nilai y mereka sama.

2x^2 - px - 10 = x^2 + px + 5

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk mendapatkan persamaan kuadrat:
2x^2 - x^2 - px - px - 10 - 5 = 0
x^2 - 2px - 15 = 0

Persamaan kuadrat ini memiliki akar-akar x1 dan x2, yang merupakan absis dari titik potong kedua parabola.

Dari sifat akar-akar persamaan kuadrat ax^2 + bx + c = 0, kita tahu bahwa:
Jumlah akar: x1 + x2 = -b/a
Perkalian akar: x1 * x2 = c/a

Dalam persamaan kita (x^2 - 2px - 15 = 0), a=1, b=-2p, dan c=-15.

Jadi:
x1 + x2 = -(-2p)/1 = 2p
x1 * x2 = -15/1 = -15

Kita diberikan informasi bahwa x1 - x2 = 8.

Kita bisa menggunakan identitas:
(x1 - x2)^2 = (x1 + x2)^2 - 4x1*x2

Masukkan nilai yang diketahui:
8^2 = (2p)^2 - 4(-15)
64 = 4p^2 + 60

Sekarang, selesaikan untuk p:
64 - 60 = 4p^2
4 = 4p^2
p^2 = 1

p = ±1

Namun, biasanya dalam konteks soal seperti ini, nilai 'p' yang dimaksud adalah nilai spesifik yang memenuhi kondisi. Mari kita periksa kedua nilai p.

Jika p = 1:
x1 + x2 = 2(1) = 2
x1 - x2 = 8
Menjumlahkan kedua persamaan: 2x1 = 10 => x1 = 5
Substitusi x1=5 ke x1+x2=2: 5 + x2 = 2 => x2 = -3
Periksa x1*x2 = 5 * (-3) = -15. Ini sesuai.

Jika p = -1:
x1 + x2 = 2(-1) = -2
x1 - x2 = 8
Menjumlahkan kedua persamaan: 2x1 = 6 => x1 = 3
Substitusi x1=3 ke x1+x2=-2: 3 + x2 = -2 => x2 = -5
Periksa x1*x2 = 3 * (-5) = -15. Ini juga sesuai.

Karena soal menanyakan 'nilai p', dan kedua nilai p memenuhi kondisi, biasanya ada konteks tambahan atau pilihan jawaban yang mengklarifikasi. Namun, jika harus memilih satu, seringkali nilai positif yang diasumsikan jika tidak ada spesifikasi lain. Tetapi secara matematis, kedua nilai valid.

Mari kita asumsikan ada pilihan jawaban yang hanya menyertakan salah satu dari nilai ini atau keduanya. Tanpa pilihan jawaban, kita akan menyatakan kedua kemungkinan nilai p.