Penyelesaian (x^2-3x-18)/((x-6)^2 (x-2)) < 0 adalah....

Penyelesaiannya adalah $x < -3$ atau $2 < x < 6$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $rac{x^2-3x-18}{(x-6)^2 (x-2)} < 0$, kita perlu menganalisis tanda dari pembilang dan penyebut.

Pembilang: $x^2 - 3x - 18$
Kita faktorkan pembilang:
$x^2 - 3x - 18 = (x-6)(x+3)$

Penyebut: $(x-6)^2 (x-2)$

Pertidaksamaan menjadi: $rac{(x-6)(x+3)}{(x-6)^2 (x-2)} < 0$

Kita bisa menyederhanakan satu faktor $(x-6)$ di pembilang dan penyebut, dengan syarat $x 
eq 6$:
$rac{x+3}{(x-6)(x-2)} < 0$

Sekarang kita cari akar-akar dari pembilang dan penyebut:
- Akar pembilang: $x+3 = 0 
ightarrow x = -3$
- Akar penyebut: $x-6 = 0 
ightarrow x = 6$ dan $x-2 = 0 
ightarrow x = 2$

Titik-titik kritisnya adalah -3, 2, dan 6. Kita uji tanda pada setiap interval:

1. $x < -3$: Pilih $x = -4$. $rac{-4+3}{(-4-6)(-4-2)} = rac{-1}{(-10)(-6)} = rac{-1}{60} < 0$. (Memenuhi)
2. $-3 < x < 2$: Pilih $x = 0$. $rac{0+3}{(0-6)(0-2)} = rac{3}{(-6)(-2)} = rac{3}{12} > 0$. (Tidak memenuhi)
3. $2 < x < 6$: Pilih $x = 3$. $rac{3+3}{(3-6)(3-2)} = rac{6}{(-3)(1)} = rac{6}{-3} < 0$. (Memenuhi)
4. $x > 6$: Pilih $x = 7$. $rac{7+3}{(7-6)(7-2)} = rac{10}{(1)(5)} = rac{10}{5} > 0$. (Tidak memenuhi)

Perlu diingat bahwa kita menyederhanakan dengan syarat $x 
eq 6$. Pada interval $2 < x < 6$, kita mendapatkan hasil negatif. Namun, karena kita menyederhanakan $(x-6)$, kita perlu memeriksa kembali perilaku di sekitar $x=6$. Karena $(x-6)^2$ selalu positif (kecuali di $x=6$), dan kita menyederhanakan satu $(x-6)$, maka suku $(x-6)$ di penyebut akan tetap berpangkat ganjil (yaitu 1 setelah penyederhanaan), yang berarti tanda berubah di $x=6$. Namun, karena penyebut tidak boleh nol, $x=6$ tidak termasuk dalam solusi.

Jadi, solusi dari $rac{x+3}{(x-6)(x-2)} < 0$ adalah $x < -3$ atau $2 < x < 6$.

Karena kita membatasi $x 
eq 6$, maka penyelesaiannya adalah $x < -3$ atau $2 < x < 6$.

Dalam notasi interval, penyelesaiannya adalah $(-erta, -3) 	ext{ atau } (2, 6)$.