Diberikan vektor-vektor posisi a=-i+2k dan b=3i-k. Notasi

90 derajat

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menentukan vektor-vektor yang diberikan terlebih dahulu, kemudian menghitung sudut di antara keduanya.

Vektor a = -i + 2k
Vektor b = 3i - k

Panjang vektor |a| = sqrt((-1)^2 + 0^2 + 2^2) = sqrt(1 + 0 + 4) = sqrt(5)
Panjang vektor |b| = sqrt(3^2 + 0^2 + (-1)^2) = sqrt(9 + 0 + 1) = sqrt(10)

Sekarang kita hitung vektor |b|a + |a|b:
|b|a + |a|b = sqrt(10)(-i + 2k) + sqrt(5)(3i - k)
= -sqrt(10)i + 2sqrt(10)k + 3sqrt(5)i - sqrt(5)k
= (3sqrt(5) - sqrt(10))i + (2sqrt(10) - sqrt(5))k

Selanjutnya, kita hitung vektor |b|a - |a|b:
|b|a - |a|b = sqrt(10)(-i + 2k) - sqrt(5)(3i - k)
= -sqrt(10)i + 2sqrt(10)k - 3sqrt(5)i + sqrt(5)k
= (-sqrt(10) - 3sqrt(5))i + (2sqrt(10) + sqrt(5))k

Misalkan vektor u = |b|a + |a|b dan vektor v = |b|a - |a|b.
Untuk mencari sudut antara u dan v, kita gunakan rumus:
u . v = |u| |v| cos(theta)

Hitung hasil kali titik u . v:
u . v = [ (3sqrt(5) - sqrt(10)) ] * [ (-sqrt(10) - 3sqrt(5)) ] + [ (2sqrt(10) - sqrt(5)) ] * [ (2sqrt(10) + sqrt(5)) ]

Perhatikan bahwa (2sqrt(10) - sqrt(5)) * (2sqrt(10) + sqrt(5)) adalah bentuk (x-y)(x+y) = x^2 - y^2:
(2sqrt(10))^2 - (sqrt(5))^2 = (4 * 10) - 5 = 40 - 5 = 35

Perhatikan bahwa (3sqrt(5) - sqrt(10)) * (-sqrt(10) - 3sqrt(5)) adalah bentuk (x-y)(-y-x) = -(x-y)(x+y) = -(x^2 - y^2):
-( (3sqrt(5))^2 - (sqrt(10))^2 ) = -( (9 * 5) - 10 ) = -(45 - 10) = -35

Jadi, u . v = -35 + 35 = 0.

Karena hasil kali titik u . v = 0, maka vektor u dan v saling tegak lurus. Sudut antara dua vektor yang saling tegak lurus adalah 90 derajat atau pi/2 radian.