Perhatikan gambar di bawah ini. D E C O A B r r r r r

Luas segi lima ABCDE = 5/2 * r^2 * sin(360/5) dibuktikan dengan membagi segi lima menjadi 5 segitiga kongruen dan menggunakan luas segitiga dengan trigonometri.

Pembahasan

Segi lima beraturan ABCDE terletak di dalam lingkaran O berjari-jari r. Segi lima ini dapat dibagi menjadi 5 segitiga sama kaki yang kongruen dengan titik puncak di pusat lingkaran O, yaitu segitiga OAB, OBC, OCD, ODE, dan OEA. 

Setiap segitiga memiliki dua sisi yang sama panjang yaitu jari-jari lingkaran (r) dan sudut di pusat lingkaran adalah 360 derajat dibagi 5, yaitu 72 derajat (360/5). Namun, untuk membuktikan luas segi lima = 5/2 r^2 sin(360/5), kita perlu membagi sudut pusat menjadi dua menggunakan garis tinggi dari O ke sisi AB, misalnya di titik M. Ini akan membentuk dua segitiga siku-siku yang kongruen.

Dalam segitiga siku-siku OMA, sudut AOM = (1/2) * (360/5) = 36 derajat. Luas segitiga OAB = 2 * Luas segitiga OMA.

Luas segitiga OMA = (1/2) * alas * tinggi. Dengan menggunakan trigonometri pada segitiga OMA:
AM = r * sin(36^\circ)
OM = r * cos(36^\circ)

Luas segitiga OMA = (1/2) * AM * OM = (1/2) * (r * sin(36^\circ)) * (r * cos(36^\circ))
Luas segitiga OMA = (1/2) * r^2 * sin(36^\circ) * cos(36^\circ)

Menggunakan identitas trigonometri 2 sin(x) cos(x) = sin(2x), maka sin(36^\circ) cos(36^\circ) = (1/2) sin(72^\circ).

Luas segitiga OMA = (1/2) * r^2 * (1/2) sin(72^\circ) = (1/4) * r^2 * sin(72^\circ)

Luas segitiga OAB = 2 * Luas segitiga OMA = 2 * (1/4) * r^2 * sin(72^\circ) = (1/2) * r^2 * sin(72^\circ).

Karena 72 derajat = 360/5, maka Luas segitiga OAB = (1/2) * r^2 * sin(360/5).

Luas segi lima ABCDE = 5 * Luas segitiga OAB
Luas segi lima ABCDE = 5 * (1/2) * r^2 * sin(360/5)
Luas segi lima ABCDE = 5/2 * r^2 * sin(360/5).

Terbukti.