Perhatikan gambar di bawah ini. Kedua titik sudut persegi

a. Luas maksimum saat perbandingan sisi 2:1, b. Keliling maksimum saat perbandingan sisi 4:1

Pembahasan

Misalkan jari-jari setengah lingkaran adalah R = 6 cm.
Misalkan panjang sisi persegi panjang yang berhimpitan dengan diameter adalah 2x, dan lebarnya adalah y.

a. Luas persegi panjang adalah L = (2x)y.
Karena titik sudut persegi panjang terletak pada keliling setengah lingkaran, maka berlaku hubungan:
$x^2 + y^2 = R^2$
$x^2 + y^2 = 6^2$
$x^2 + y^2 = 36$
$y = \sqrt{36 - x^2}$

Substitusikan y ke dalam rumus luas:
$L(x) = 2x \sqrt{36 - x^2}$

Untuk mencari luas maksimum, kita turunkan L(x) terhadap x dan samakan dengan nol.
$L'(x) = 2 \sqrt{36 - x^2} + 2x \cdot \frac{1}{2\sqrt{36 - x^2}} \cdot (-2x)$
$L'(x) = 2 \sqrt{36 - x^2} - \frac{2x^2}{\sqrt{36 - x^2}}$

Samakan $L'(x) = 0$:
$2 \sqrt{36 - x^2} = \frac{2x^2}{\sqrt{36 - x^2}}$
$2(36 - x^2) = 2x^2$
$72 - 2x^2 = 2x^2$
$72 = 4x^2$
$x^2 = 18$
$x = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

Jika $x = 3\sqrt{2}$, maka $y = \sqrt{36 - (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 - 18} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

Perbandingan sisi-sisi persegi panjang adalah (2x) : y = $(2 \cdot 3\sqrt{2}) : 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} : 3\sqrt{2} = 2:1$. Terbukti.

b. Keliling persegi panjang adalah K = 2(2x) + 2y = 4x + 2y.
Substitusikan $y = \sqrt{36 - x^2}$ ke dalam rumus keliling:
$K(x) = 4x + 2\sqrt{36 - x^2}$

Untuk mencari keliling maksimum, kita turunkan K(x) terhadap x dan samakan dengan nol.
$K'(x) = 4 + 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{36 - x^2}} \cdot (-2x)$
$K'(x) = 4 - \frac{2x}{\sqrt{36 - x^2}}$

Samakan $K'(x) = 0$:
$4 = \frac{2x}{\sqrt{36 - x^2}}$
$4\sqrt{36 - x^2} = 2x$
$2\sqrt{36 - x^2} = x$
Kuadratkan kedua sisi:
$4(36 - x^2) = x^2$
$144 - 4x^2 = x^2$
$144 = 5x^2$
$x^2 = \frac{144}{5}$
$x = \frac{12}{\sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{5}$

Jika $x = \frac{12\sqrt{5}}{5}$, maka $y = \sqrt{36 - x^2} = \sqrt{36 - \frac{144}{5}} = \sqrt{\frac{180 - 144}{5}} = \sqrt{\frac{36}{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}$.

Perbandingan sisi-sisi persegi panjang adalah (2x) : y = $(2 \cdot \frac{12\sqrt{5}}{5}) : \frac{6\sqrt{5}}{5} = \frac{24\sqrt{5}}{5} : \frac{6\sqrt{5}}{5} = 24:6 = 4:1$. Terbukti.