Perhatikan gambar di bawah ini. Sebuah persegi ABCD

Jumlah keliling: 80 + 40√2 cm; Jumlah luas: 200 cm²

Pembahasan

Untuk menjawab soal ini, kita perlu menganalisis pola pembentukan persegi dan menggunakan konsep deret geometri.

a. Jumlah keliling persegi yang terbentuk:
Persegi pertama (ABCD) memiliki sisi 10 cm, sehingga kelilingnya adalah 4 * 10 = 40 cm.
Persegi kedua (EFGH) memiliki titik sudut di tengah sisi-sisi ABCD. Sisi EFGH merupakan sisi miring dari segitiga siku-siku yang dibentuk oleh setengah sisi persegi ABCD. Panjang sisi EFGH dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras: EF^2 = (10/2)^2 + (10/2)^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50. Jadi, EF = sqrt(50) = 5*sqrt(2) cm.
Keliling EFGH = 4 * 5*sqrt(2) = 20*sqrt(2) cm.
Persegi ketiga (IJKL) akan memiliki sisi setengah dari sisi EFGH, yaitu (5*sqrt(2))/2. Keliling IJKL = 4 * (5*sqrt(2))/2 = 10*sqrt(2) cm.
Kita dapat melihat bahwa keliling persegi membentuk deret geometri dengan suku pertama (a) = 40 dan rasio (r) = (20*sqrt(2))/40 = sqrt(2)/2.
Karena |r| < 1, maka jumlah keliling tak hingganya adalah S = a / (1 - r) = 40 / (1 - sqrt(2)/2) = 40 / ((2 - sqrt(2))/2) = 80 / (2 - sqrt(2)).
Untuk merasionalkan penyebut: S = (80 * (2 + sqrt(2))) / ((2 - sqrt(2)) * (2 + sqrt(2))) = (160 + 80*sqrt(2)) / (4 - 2) = (160 + 80*sqrt(2)) / 2 = 80 + 40*sqrt(2) cm.

b. Jumlah luas persegi yang terbentuk:
Luas persegi pertama (ABCD) = sisi^2 = 10^2 = 100 cm^2.
Luas persegi kedua (EFGH) = sisi^2 = (5*sqrt(2))^2 = 50 cm^2.
Luas persegi ketiga (IJKL) = sisi^2 = ((5*sqrt(2))/2)^2 = (25*2)/4 = 50/4 = 12.5 cm^2.
Kita dapat melihat bahwa luas persegi membentuk deret geometri dengan suku pertama (a) = 100 dan rasio (r) = 50/100 = 1/2.
Karena |r| < 1, maka jumlah luas tak hingganya adalah S = a / (1 - r) = 100 / (1 - 1/2) = 100 / (1/2) = 200 cm^2.

Jawaban ringkas:
a. Jumlah kelilingnya adalah 80 + 40*sqrt(2) cm.
b. Jumlah luasnya adalah 200 cm^2.