Perhatikan gambar limas beraturan T.ABCD berikut. T 6 D C 4

Nilai kosinus sudut antara bidang TAB dan bidang TBC adalah 1/8.

Pembahasan

Untuk mencari nilai kosinus sudut antara bidang TAB dan bidang TBC pada limas beraturan T.ABCD, kita perlu menentukan vektor normal dari kedua bidang tersebut atau menggunakan proyeksi.

Misalkan panjang rusuk alas AB = BC = CD = DA = 4 dan panjang rusuk tegak TA = TB = TC = TD = 6.

Kita dapat menggunakan proyeksi titik A dan C ke bidang TBC. Atau, kita bisa mencari sudut antara dua garis yang tegak lurus terhadap garis potong kedua bidang (yaitu TB).

Misalkan kita proyeksikan titik A ke bidang TBC. Karena limas beraturan, tinggi limas akan jatuh pada titik potong diagonal alas (misal O). Kita perlu menghitung tinggi limas dan jarak titik A ke TB.

Cara lain adalah dengan menggunakan aturan kosinus pada segitiga yang dibentuk oleh titik-titik pada bidang tersebut.

Misalkan M adalah titik tengah rusuk AB dan N adalah titik tengah rusuk BC. Maka TM tegak lurus AB dan TN tegak lurus BC.

Segitiga TMB siku-siku di M. $MB = 4/2 = 2$. $TM = \sqrt{TB^2 - MB^2} = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{36-4} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

Segitiga TNB siku-siku di N. $NB = 4/2 = 2$. $TN = \sqrt{TB^2 - NB^2} = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{36-4} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

Perhatikan segitiga TMB dan TNB. Kedua segitiga ini kongruen.

Sudut antara bidang TAB dan TBC adalah sudut antara garis TM dan TN. Kita bisa gunakan segitiga TMN.

Kita perlu panjang MN. MN adalah diagonal persegi panjang MBN'N (dimana N' adalah titik tengah BC). Dalam segitiga ABC siku-siku di B, $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

Titik potong diagonal alas adalah O. $AO = OC = 2\sqrt{2}$.

Dalam segitiga TBC, TN = $4\sqrt{2}$. NB = 2. $TC = 6$. Akan lebih mudah jika kita menggunakan sudut antara garis normal bidang.

Cara lain:
Proyeksikan A ke TB di titik P. Proyeksikan C ke TB di titik Q.
Sudut yang dicari adalah sudut antara TP dan TQ. Sebenarnya ini tidak tepat.

Mari kita gunakan cosinus sudut antara dua vektor.
Misalkan B=(0,0,0), A=(4,0,0), C=(0,4,0). Maka T=(2,2,h).
$TB^2 = 2^2 + 2^2 + h^2 = 8 + h^2 = 6^2 = 36$, jadi $h^2 = 28$, $h = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$.
T=(2,2,$2\sqrt{7}$).

Vektor BA = (4,0,0), BT = (2,2,$2\sqrt{7}$).
Vektor BC = (0,4,0), BT = (2,2,$2\sqrt{7}$).

Bidang TAB dibentuk oleh vektor BA dan BT. Vektor normal $n_1 = BA \times BT = (4,0,0) \times (2,2,2\sqrt{7}) = (0, -8\sqrt{7}, 8)$. Kita bisa sederhanakan menjadi $(0, -\sqrt{7}, 1)$.

Bidang TBC dibentuk oleh vektor BC dan BT. Vektor normal $n_2 = BC \times BT = (0,4,0) \times (2,2,2\sqrt{7}) = (8\sqrt{7}, 0, -8)$. Kita bisa sederhanakan menjadi $(\sqrt{7}, 0, -1)$.

Kosinus sudut antara dua bidang adalah nilai absolut dari kosinus sudut antara vektor normalnya.
$\|cos(\theta)\| = \frac{|n_1 \cdot n_2|}{\|n_1\| \|n_2\|}$
$n_1 \cdot n_2 = (0)(\sqrt{7}) + (-\sqrt{7})(0) + (1)(-1) = -1$
$\|n_1\| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{7})^2 + 1^2} = \sqrt{7+1} = \sqrt{8}$
$\|n_2\| = \sqrt{(\sqrt{7})^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{7+1} = \sqrt{8}$

$\|cos(\theta)\| = \frac{|-1|}{\sqrt{8} \sqrt{8}} = \frac{1}{8}$.

Jadi, nilai kosinus sudut antara bidang TAB dan bidang TBC adalah $1/8$.