Perhatikan limas segi empat beraturan berikut. Titik P dan

Jarak antara titik T dan garis PQ adalah 3akar(10) cm.

Pembahasan

Untuk menentukan jarak antara titik T dan garis PQ pada limas segi empat beraturan dengan AB = TA = 12 cm, di mana P dan Q adalah titik tengah rusuk AB dan AD, kita perlu melakukan langkah-langkah berikut:

1. **Visualisasi Limas:** Bayangkan limas T.ABCD dengan alas persegi ABCD. Titik T adalah puncak limas. P adalah titik tengah AB, dan Q adalah titik tengah AD.

2. **Koordinat Titik:** Tetapkan koordinat untuk setiap titik:
   - Misalkan A = (0, 0, 0)
   - Karena ABCD adalah persegi dengan AB = 12, maka B = (12, 0, 0), D = (0, 12, 0), dan C = (12, 12, 0).
   - Karena TA = 12, dan ini adalah limas segi empat beraturan, maka tinggi limas dapat dihitung. Namun, untuk soal ini, kita bisa menggunakan sifat simetri atau menghitung koordinat T jika alasnya sejajar dengan bidang xy. Jika kita asumsikan alasnya berada di bidang xy dan T berada di atas pusat alas, maka pusat alas adalah (6, 6, 0). Jarak TA = 12. Misalkan T = (6, 6, h). Maka TA^2 = (6-0)^2 + (6-0)^2 + (h-0)^2 = 36 + 36 + h^2 = 72 + h^2. Karena TA = 12, maka 144 = 72 + h^2, sehingga h^2 = 72 dan h = sqrt(72) = 6akar(2). Jadi, T = (6, 6, 6akar(2)).

3. **Koordinat P dan Q:**
   - P adalah titik tengah AB: P = ((0+12)/2, (0+0)/2, (0+0)/2) = (6, 0, 0).
   - Q adalah titik tengah AD: Q = ((0+0)/2, (0+12)/2, (0+0)/2) = (0, 6, 0).

4. **Vektor PQ dan PT:**
   - Vektor PQ = Q - P = (0-6, 6-0, 0-0) = (-6, 6, 0).
   - Vektor PT = T - P = (6-6, 6-0, 6akar(2)-0) = (0, 6, 6akar(2)).

5. **Jarak Titik ke Garis:** Jarak titik T ke garis PQ dapat dihitung menggunakan rumus:
   Jarak = || PT x PQ || / || PQ ||

   - **Hitung PT x PQ (cross product):**
     PT x PQ = | i   j   k  |
               | 0   6   6akar(2) |
               | -6  6   0  |
     = i(6*0 - 6*6akar(2)) - j(0*0 - (-6)*6akar(2)) + k(0*6 - (-6)*6)
     = i(-36akar(2)) - j(36akar(2)) + k(36)
     = (-36akar(2), -36akar(2), 36)

   - **Hitung || PT x PQ || (magnitude dari cross product):**
     || PT x PQ || = sqrt((-36akar(2))^2 + (-36akar(2))^2 + 36^2)
                 = sqrt((1296 * 2) + (1296 * 2) + 1296)
                 = sqrt(2592 + 2592 + 1296)
                 = sqrt(6480)
                 = sqrt(1296 * 5)
                 = 36akar(5)

   - **Hitung || PQ || (magnitude dari PQ):**
     || PQ || = sqrt((-6)^2 + 6^2 + 0^2)
              = sqrt(36 + 36)
              = sqrt(72)
              = 6akar(2)

   - **Hitung Jarak:**
     Jarak = (36akar(5)) / (6akar(2))
           = 6 * (akar(5) / akar(2))
           = 6 * (akar(10) / 2)
           = 3akar(10) cm.

*Alternatif menggunakan geometri:* 

1. **Segitiga T.AP:** Segitiga T.AP adalah segitiga siku-siku di A jika alasnya persegi. Jika P adalah titik tengah AB, maka AP = 6.
2. **Segitiga T.AQ:** Segitiga T.AQ adalah segitiga siku-siku di A jika alasnya persegi. Jika Q adalah titik tengah AD, maka AQ = 6.
3. **Segitiga APQ:** Segitiga APQ adalah segitiga siku-siku di A dengan AP = 6 dan AQ = 6. Maka PQ = sqrt(AP^2 + AQ^2) = sqrt(6^2 + 6^2) = sqrt(36 + 36) = sqrt(72) = 6akar(2).
4. **Segitiga TAP:** Segitiga TAP siku-siku di A. TA = 12, AP = 6. TP = sqrt(TA^2 + AP^2) = sqrt(12^2 + 6^2) = sqrt(144 + 36) = sqrt(180) = 6akar(5).
5. **Segitiga TAQ:** Segitiga TAQ siku-siku di A. TA = 12, AQ = 6. TQ = sqrt(TA^2 + AQ^2) = sqrt(12^2 + 6^2) = sqrt(144 + 36) = sqrt(180) = 6akar(5).

Perhatikan segitiga TPQ. TP = TQ = 6akar(5), dan PQ = 6akar(2). Segitiga TPQ adalah segitiga sama kaki.

Untuk mencari jarak titik T ke garis PQ, kita bisa menggunakan luas segitiga TPQ.
Luas TPQ = 1/2 * alas * tinggi. Kita bisa gunakan PQ sebagai alas.

Cari tinggi dari T ke PQ. Misalkan M adalah titik tengah PQ. Maka TM adalah tinggi segitiga TPQ.
PM = 1/2 * PQ = 1/2 * 6akar(2) = 3akar(2).

Dalam segitiga TPM (siku-siku di M):
TM^2 + PM^2 = TP^2
TM^2 + (3akar(2))^2 = (6akar(5))^2
TM^2 + (9 * 2) = (36 * 5)
TM^2 + 18 = 180
TM^2 = 180 - 18
TM^2 = 162
TM = sqrt(162)
TM = sqrt(81 * 2)
TM = 9akar(2).

Namun, TM adalah tinggi segitiga TPQ, bukan jarak titik T ke garis PQ secara langsung jika kita memproyeksikan T ke bidang alas. Jarak yang diminta adalah jarak tegak lurus dari T ke garis PQ.

Mari kita kembali ke vektor. Titik P=(6,0,0), Q=(0,6,0), T=(6,6,6akar(2)).
Garis PQ terletak pada bidang xy.
Proyeksi T pada bidang xy adalah T'=(6,6,0). Jarak T ke garis PQ adalah jarak T ke bidang xy ditambah jarak proyeksi T' ke garis PQ.

Jarak T ke bidang xy adalah koordinat z T, yaitu 6akar(2).
Sekarang cari jarak titik T'(6,6,0) ke garis PQ.

Garis PQ dapat direpresentasikan sebagai P + t(Q-P) = (6,0,0) + t(-6,6,0) = (6-6t, 6t, 0).

Titik pada garis PQ yang terdekat dengan T' adalah ketika vektor T' - (titik pada garis PQ) tegak lurus dengan vektor arah garis PQ (-6,6,0).

Letakkan R = (6-6t, 6t, 0) pada garis PQ.
Vektor T'R = R - T' = (6-6t-6, 6t-6, 0-0) = (-6t, 6t-6, 0).

T'R tegak lurus PQ berarti T'R . PQ = 0
(-6t, 6t-6, 0) . (-6, 6, 0) = 0
(-6t)(-6) + (6t-6)(6) + 0*0 = 0
36t + 36t - 36 = 0
72t = 36
t = 36/72 = 1/2.

Titik terdekat pada garis PQ dari T' adalah saat t=1/2.
R = (6 - 6(1/2), 6(1/2), 0) = (6-3, 3, 0) = (3, 3, 0).

Jarak T'R = || T'R || = sqrt((-6(1/2))^2 + (6(1/2)-6)^2 + 0^2)
             = sqrt((-3)^2 + (3-6)^2)
             = sqrt(9 + (-3)^2)
             = sqrt(9 + 9)
             = sqrt(18)
             = 3akar(2).

Jadi, jarak titik T ke garis PQ adalah jarak T ke bidang xy (6akar(2)) ditambah jarak proyeksi T' ke garis PQ (3akar(2)).

Jarak T ke PQ = 6akar(2) + 3akar(2) = 9akar(2).

Mari kita periksa kembali perhitungan vektor PT x PQ.
PT x PQ = (-36akar(2), -36akar(2), 36)
|| PT x PQ || = sqrt(2592 + 2592 + 1296) = sqrt(6480) = 36akar(5)
|| PQ || = sqrt(72) = 6akar(2)
Jarak = || PT x PQ || / || PQ || = 36akar(5) / 6akar(2) = 6akar(5)/akar(2) = 6akar(10)/2 = 3akar(10).

Ada perbedaan hasil. Mari kita tinjau ulang konsepnya.

Jarak titik ke garis dalam 3D. Misalkan titik T dan garis yang melalui P dengan arah vektor v (dalam hal ini v = PQ).
Jarak = || (T-P) x v || / || v ||.
Ini adalah rumus yang benar.

Kita gunakan kembali:
P = (6, 0, 0)
Q = (0, 6, 0)
T = (6, 6, 6akar(2))
v = PQ = Q - P = (-6, 6, 0)
T - P = (0, 6, 6akar(2))

(T-P) x v = (0, 6, 6akar(2)) x (-6, 6, 0)
= i(6*0 - 6*6akar(2)) - j(0*0 - (-6)*6akar(2)) + k(0*6 - (-6)*6)
= i(-36akar(2)) - j(36akar(2)) + k(36)
= (-36akar(2), -36akar(2), 36)

|| (T-P) x v || = sqrt((-36akar(2))^2 + (-36akar(2))^2 + 36^2)
               = sqrt(2592 + 2592 + 1296)
               = sqrt(6480)
               = 36akar(5)

|| v || = || PQ || = sqrt((-6)^2 + 6^2 + 0^2) = sqrt(36+36) = sqrt(72) = 6akar(2)

Jarak = || (T-P) x v || / || v || = 36akar(5) / 6akar(2) = 6akar(5)/akar(2) = 6akar(10)/2 = 3akar(10).

Jadi, jarak antara titik T dan garis PQ adalah 3akar(10) cm.

Detail Perhitungan:
1. Koordinat titik:
A=(0,0,0), B=(12,0,0), D=(0,12,0), C=(12,12,0).
P=titik tengah AB = (6,0,0).
Q=titik tengah AD = (0,6,0).
Untuk T, kita perlu T.ABCD adalah limas segi empat beraturan. TA=12.
Jika alasnya persegi di bidang xy, pusatnya (6,6,0). Misalkan T=(6,6,z).
TA^2 = (6-0)^2 + (6-0)^2 + (z-0)^2 = 36 + 36 + z^2 = 72 + z^2.
Karena TA=12, TA^2 = 144.
144 = 72 + z^2 => z^2 = 72 => z = sqrt(72) = 6akar(2).
Jadi T = (6, 6, 6akar(2)).

2. Vektor yang terlibat:
   Vektor arah garis PQ: PQ = Q - P = (0-6, 6-0, 0-0) = (-6, 6, 0).
   Vektor dari titik P pada garis ke titik T: PT = T - P = (6-6, 6-0, 6akar(2)-0) = (0, 6, 6akar(2)).

3. Perkalian silang (cross product) PT x PQ:
   PT x PQ = det([[i, j, k], [0, 6, 6akar(2)], [-6, 6, 0]])
           = i(6*0 - 6*6akar(2)) - j(0*0 - (-6)*6akar(2)) + k(0*6 - (-6)*6)
           = i(-36akar(2)) - j(36akar(2)) + k(36)
           = (-36akar(2), -36akar(2), 36)

4. Magnitudo (panjang) hasil perkalian silang:
   ||PT x PQ|| = sqrt((-36akar(2))^2 + (-36akar(2))^2 + 36^2)
               = sqrt(1296*2 + 1296*2 + 1296)
               = sqrt(2592 + 2592 + 1296)
               = sqrt(6480)
               = sqrt(1296 * 5) = 36akar(5)

5. Magnitudo (panjang) vektor PQ:
   ||PQ|| = sqrt((-6)^2 + 6^2 + 0^2)
          = sqrt(36 + 36)
          = sqrt(72) = 6akar(2)

6. Jarak titik T ke garis PQ:
   Jarak = ||PT x PQ|| / ||PQ||
         = (36akar(5)) / (6akar(2))
         = 6 * (akar(5) / akar(2))
         = 6 * (akar(10) / 2)
         = 3akar(10) cm.