Selesaikan persamaan trigonometri berikut. a. Tan x=akar(3)

a. x = pi/3, 4pi/3, 7pi/3. b. x = pi/6, 7pi/6.

Pembahasan

Kita akan menyelesaikan dua persamaan trigonometri terpisah:

**a. Tan x = akar(3), untuk 0 <= x <= 3 pi**

Fungsi tangen memiliki periode pi (180 derajat). Ini berarti pola nilai tangen berulang setiap pi radian.

1.  **Tentukan solusi dasar:** Kita tahu bahwa tan(x) = akar(3) ketika x = pi/3 (atau 60 derajat).

2.  **Gunakan periode:** Karena periode tangen adalah pi, solusi umum untuk tan(x) = akar(3) adalah x = pi/3 + n*pi, di mana n adalah bilangan bulat.

3.  **Cari solusi dalam rentang yang diberikan (0 <= x <= 3 pi):**
    *   Untuk n = 0: x = pi/3 + 0*pi = pi/3.
    *   Untuk n = 1: x = pi/3 + 1*pi = pi/3 + 3pi/3 = 4pi/3.
    *   Untuk n = 2: x = pi/3 + 2*pi = pi/3 + 6pi/3 = 7pi/3.
    *   Untuk n = 3: x = pi/3 + 3*pi = pi/3 + 9pi/3 = 10pi/3. (Ini sudah di luar rentang karena 10pi/3 > 9pi/3 = 3pi).

Jadi, solusi untuk bagian (a) adalah x = pi/3, 4pi/3, dan 7pi/3.

**b. 3 tan x = akar(3), untuk 0 <= x <= 2 pi**

Terlebih dahulu, isolasi tan(x):
tan x = akar(3) / 3

1.  **Tentukan solusi dasar:** Kita tahu bahwa tan(x) = 1/akar(3) (atau akar(3)/3) ketika x = pi/6 (atau 30 derajat).

2.  **Gunakan periode:** Periode tangen adalah pi. Solusi umum untuk tan(x) = akar(3)/3 adalah x = pi/6 + n*pi, di mana n adalah bilangan bulat.

3.  **Cari solusi dalam rentang yang diberikan (0 <= x <= 2 pi):**
    *   Untuk n = 0: x = pi/6 + 0*pi = pi/6.
    *   Untuk n = 1: x = pi/6 + 1*pi = pi/6 + 6pi/6 = 7pi/6.
    *   Untuk n = 2: x = pi/6 + 2*pi = pi/6 + 12pi/6 = 13pi/6. (Ini sudah di luar rentang karena 13pi/6 > 12pi/6 = 2pi).

Jadi, solusi untuk bagian (b) adalah x = pi/6 dan 7pi/6.

**Ringkasan Jawaban:**
a. Solusi untuk tan x = akar(3) pada 0 <= x <= 3 pi adalah x = pi/3, 4pi/3, 7pi/3.
b. Solusi untuk 3 tan x = akar(3) pada 0 <= x <= 2 pi adalah x = pi/6, 7pi/6.