Periksalah titik maksimum dan titik minimum fungsi

Titik minimum lokal di x=2, dengan nilai f(2)=0. Tidak ada titik maksimum.

Pembahasan

Untuk memeriksa titik maksimum dan minimum fungsi f(x) = (x - 2)^(2/3), kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan mencari titik kritisnya.
Turunan pertama f'(x) dapat dicari menggunakan aturan rantai:
f'(x) = (2/3)(x - 2)^((2/3)-1) * d/dx(x - 2)
f'(x) = (2/3)(x - 2)^(-1/3) * 1
f'(x) = 2 / (3 * (x - 2)^(1/3))

Titik kritis terjadi ketika f'(x) = 0 atau ketika f'(x) tidak terdefinisi.
1. f'(x) = 0: 2 / (3 * (x - 2)^(1/3)) = 0. Persamaan ini tidak memiliki solusi karena pembilangnya adalah konstanta 2.
2. f'(x) tidak terdefinisi: Ini terjadi ketika penyebutnya nol, yaitu 3 * (x - 2)^(1/3) = 0. Ini berarti (x - 2)^(1/3) = 0, yang menghasilkan x - 2 = 0, sehingga x = 2.

Sekarang kita perlu memeriksa perilaku fungsi di sekitar x = 2. Kita dapat menggunakan uji turunan pertama.
Pilih nilai x < 2, misalnya x = 1: f'(1) = 2 / (3 * (1 - 2)^(1/3)) = 2 / (3 * (-1)^(1/3)) = 2 / (3 * -1) = -2/3. Karena f'(1) < 0, fungsi menurun sebelum x = 2.
Pilih nilai x > 2, misalnya x = 3: f'(3) = 2 / (3 * (3 - 2)^(1/3)) = 2 / (3 * (1)^(1/3)) = 2 / (3 * 1) = 2/3. Karena f'(3) > 0, fungsi meningkat setelah x = 2.
Karena fungsi berubah dari menurun menjadi meningkat di x = 2, maka x = 2 adalah titik minimum lokal. 
Nilai fungsi di titik minimum adalah f(2) = (2 - 2)^(2/3) = 0^(2/3) = 0.

Fungsi ini tidak memiliki titik maksimum karena ketika x mendekati tak terhingga, (x - 2)^(2/3) juga mendekati tak terhingga.