Persamaan eksponen: 2^(333x-2) +2^(111x + 2)- 2^(222x +1) =

109

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah 2^(333x-2) + 2^(111x + 2) - 2^(222x + 1) = 1. Persamaan ini memiliki 3 akar real. Untuk menyelesaikannya, kita bisa melakukan substitusi. Misalkan a = 2^(111x). Maka persamaan menjadi:
2^(3*111x - 2) + 2^(111x + 2) - 2^(2*111x + 1) = 1
(2^(111x))^3 / 2^2 + 2^(111x) * 2^2 - (2^(111x))^2 * 2^1 = 1
a^3 / 4 + 4a - 2a^2 = 1
Kalikan semua dengan 4:
a^3 + 16a - 8a^2 = 4
a^3 - 8a^2 + 16a - 4 = 0
Karena diketahui ada 3 akar real untuk x, yang berarti ada 3 nilai a yang mungkin. Jika akar-akar dari persamaan dalam variabel a adalah a1, a2, dan a3, maka:
a1 = 2^(111x1)
a2 = 2^(111x2)
a3 = 2^(111x3)
Dengan x1, x2, dan x3 adalah akar-akar dari persamaan asli.
Menurut teorema Vieta untuk persamaan kubik a^3 - 8a^2 + 16a - 4 = 0, hasil kali akar-akarnya adalah a1 * a2 * a3 = -(-4)/1 = 4.
Jadi, 2^(111x1) * 2^(111x2) * 2^(111x3) = 4
2^(111(x1 + x2 + x3)) = 2^2
Karena basisnya sama, maka eksponennya harus sama:
111(x1 + x2 + x3) = 2
x1 + x2 + x3 = 2/111
Jumlah ketiga akar persamaan tersebut adalah 2/111. Ini berarti m = 2 dan n = 111. Kedua bilangan ini adalah bilangan bulat positif yang saling relatif prima.
Nilai dari ekspresi (n-m) adalah 111 - 2 = 109.