Persentase siswa SMA kelas XI yang menderita influenza

a. Grafik dimulai dari (0,0), naik, lalu menurun mendekati 0. b. Persentasenya mendekati 0%.

Pembahasan

Untuk menjawab soal ini, kita perlu menganalisis fungsi yang diberikan dan perilaku limitnya.

Fungsi persentase siswa yang menderita influenza adalah:
p(t) = 100t / (2t^2 + 40)

a. Menggambar grafik P(t) terhadap t:
Untuk menggambar grafik, kita bisa mencari beberapa titik:
- Saat t = 0, p(0) = 100(0) / (2(0)^2 + 40) = 0 / 40 = 0. Titik (0, 0).
- Saat t = 1, p(1) = 100(1) / (2(1)^2 + 40) = 100 / (2 + 40) = 100 / 42 ≈ 2.38. Titik (1, 2.38).
- Saat t = 2, p(2) = 100(2) / (2(2)^2 + 40) = 200 / (8 + 40) = 200 / 48 ≈ 4.17. Titik (2, 4.17).
- Saat t = 3, p(3) = 100(3) / (2(3)^2 + 40) = 300 / (18 + 40) = 300 / 58 ≈ 5.17. Titik (3, 5.17).
- Saat t = 4, p(4) = 100(4) / (2(4)^2 + 40) = 400 / (32 + 40) = 400 / 72 ≈ 5.56. Titik (4, 5.56).
- Saat t = 5, p(5) = 100(5) / (2(5)^2 + 40) = 500 / (50 + 40) = 500 / 90 ≈ 5.56. Titik (5, 5.56).
- Saat t = 6, p(6) = 100(6) / (2(6)^2 + 40) = 600 / (72 + 40) = 600 / 112 ≈ 5.36. Titik (6, 5.36).

Grafik akan dimulai dari (0,0), naik hingga mencapai nilai maksimum di sekitar t=3 atau t=4, kemudian menurun secara perlahan.

b. Berapa persentase siswa SMA kelas XI yang menderita influenza jika t -> tak hingga?

Kita perlu mencari nilai limit dari p(t) ketika t mendekati tak hingga:
lim (t->∞) p(t) = lim (t->∞) [100t / (2t^2 + 40)]

Untuk mencari limit dari fungsi rasional ketika variabel mendekati tak hingga, kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari t di penyebut, yaitu t^2.

lim (t->∞) [100t / t^2] / [(2t^2 / t^2) + (40 / t^2)]
lim (t->∞) [100/t] / [2 + 40/t^2]

Ketika t mendekati tak hingga:
- 100/t akan mendekati 0.
- 40/t^2 akan mendekati 0.

Jadi, limitnya menjadi:
0 / (2 + 0) = 0 / 2 = 0.

Penjelasan Jawaban:
Persentase siswa yang menderita influenza mendekati 0% ketika waktu terus berjalan (t mendekati tak hingga). Ini berarti bahwa seiring berjalannya waktu, efek dari virus tersebut akan hilang atau menjadi sangat kecil dalam populasi siswa. Fungsi p(t) menunjukkan bahwa meskipun pada awalnya ada siswa yang terinfeksi, penyebaran virus tersebut tidak akan terus meningkat tanpa batas, dan pada akhirnya, jumlah siswa yang terinfeksi akan mendekati nol.