Rusuk TA, TB, dan TC pada bidang empat T.ABC saling tegak

Nilai tan α adalah √6 / 3.

Pembahasan

Bidang empat T.ABC adalah tetrahedron di mana rusuk TA, TB, dan TC saling tegak lurus pada titik T. Ini berarti sudut di T antara setiap pasang rusuk ini adalah 90 derajat.

Diketahui:
- AB = AC = 2√2 cm
- AT = 2 cm
- TA ⊥ TB, TA ⊥ TC, TB ⊥ TC

Kita perlu mencari nilai tan α, di mana α adalah sudut antara bidang ABC dan bidang TBC.

Langkah 1: Cari panjang rusuk TB dan TC.
Karena TA ⊥ TB dan TA = 2 cm, serta ATB adalah segitiga siku-siku di T, kita bisa gunakan Pythagoras pada segitiga ABC.
Karena AB = AC = 2√2, dan kita bisa menganggap segitiga ABC sama kaki.

Sekarang, mari kita perhatikan segitiga siku-siku TAB. Dengan TA = 2, dan AB = 2√2, kita bisa cari TB.
AB² = TA² + TB²
(2√2)² = 2² + TB²
8 = 4 + TB²
TB² = 4
TB = 2 cm

Karena AC = 2√2 dan TA = 2, serta ATC adalah segitiga siku-siku di T, kita bisa cari TC.
AC² = TA² + TC²
(2√2)² = 2² + TC²
8 = 4 + TC²
TC² = 4
TC = 2 cm

Jadi, TA = TB = TC = 2 cm.
Ini berarti segitiga TAB, TAC, dan TBC adalah segitiga siku-siku sama kaki.

Langkah 2: Cari sudut antara bidang ABC dan bidang TBC.
Sudut antara dua bidang adalah sudut antara dua garis yang tegak lurus terhadap garis potong kedua bidang tersebut, dan kedua garis tersebut terletak pada bidang masing-masing.

Garis potong antara bidang ABC dan bidang TBC adalah garis BC.

Kita perlu mencari garis di bidang ABC yang tegak lurus BC, dan garis di bidang TBC yang tegak lurus BC. Titik perpotongan kedua garis tersebut akan membentuk sudut α.

Karena TA ⊥ TB dan TA ⊥ TC, dan TB = TC = 2 cm, segitiga TBC adalah segitiga siku-siku sama kaki di T. BC adalah sisi miringnya.
BC² = TB² + TC² = 2² + 2² = 4 + 4 = 8
BC = √8 = 2√2 cm (Ini konsisten dengan informasi awal).

Di bidang TBC, karena segitiga TBC siku-siku sama kaki di T, garis tinggi dari T ke BC akan membagi BC menjadi dua sama panjang dan tegak lurus BC. Misalkan titik tengah BC adalah M. Maka TM ⊥ BC.

Untuk mencari panjang TM, kita bisa gunakan Pythagoras pada segitiga TMB (siku-siku di M):
TB² = TM² + MB²
2² = TM² + (√2)²  (Karena MB = BC/2 = 2√2 / 2 = √2)
4 = TM² + 2
TM² = 2
TM = √2 cm

Sekarang kita perlu mencari garis di bidang ABC yang tegak lurus BC. Karena segitiga ABC sama kaki dengan AB = AC = 2√2, garis tinggi dari A ke BC juga akan tegak lurus BC. Misalkan titik tengah BC adalah M (titik yang sama seperti sebelumnya).
Maka AM ⊥ BC.

Untuk mencari panjang AM, kita bisa gunakan Pythagoras pada segitiga AMB (siku-siku di M):
AB² = AM² + MB²
(2√2)² = AM² + (√2)²
8 = AM² + 2
AM² = 6
AM = √6 cm

Sekarang, sudut α adalah sudut antara garis TM (di bidang TBC) dan garis AM (di bidang ABC). Kedua garis ini tegak lurus BC dan berpotongan di M.
Jadi, α adalah sudut ∠TMA.

Kita perlu mencari tan α di segitiga TMA. Segitiga TMA siku-siku di M karena AM ⊥ BC dan TM ⊥ BC, sehingga TM dan AM berada pada bidang yang sama dan tegak lurus BC.

Dalam segitiga TMA:
Sisi di depan sudut α adalah TA = 2 cm.
Sisi di samping sudut α adalah AM = √6 cm.

Jadi, tan α = sisi depan / sisi samping
tan α = TA / AM
tan α = 2 / √6

Untuk merasionalkan penyebut:
tan α = (2 * √6) / (√6 * √6)
tan α = 2√6 / 6
tan α = √6 / 3