Salah satu akar persamaankuadrat 2x^2 + (2 -p)x + p = 0

Akar-akar persamaan kuadrat adalah x = (p-2 ± sqrt(p^2 - 12p + 4))/4.

Pembahasan

Persamaan kuadrat yang diberikan adalah 2x^2 + (2 - p)x + p = 0. Diketahui bahwa salah satu akarnya adalah dan p =/= 0.

Jika salah satu akar dari persamaan kuadrat ax^2 + bx + c = 0 adalah $\alpha$, maka berlaku $a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$.

Dalam kasus ini, salah satu akarnya adalah $\alpha = \frac{p}{2}$. Substitusikan nilai ini ke dalam persamaan kuadrat:
$2(\frac{p}{2})^2 + (2 - p)(\frac{p}{2}) + p = 0$
$2(\frac{p^2}{4}) + \frac{p(2 - p)}{2} + p = 0$
$rac{p^2}{2} + \frac{2p - p^2}{2} + p = 0$

Kalikan seluruh persamaan dengan 2 untuk menghilangkan penyebut:
$p^2 + (2p - p^2) + 2p = 0$
$p^2 + 2p - p^2 + 2p = 0$
$4p = 0$
$p = 0$

Namun, soal menyatakan bahwa p =/= 0. Ini menunjukkan bahwa ada kesalahpahaman dalam interpretasi soal, atau soal mungkin memiliki informasi yang kontradiktif atau kurang spesifik mengenai akar yang diketahui. Asumsi bahwa salah satu akar adalah p/2 mungkin tidak benar berdasarkan soal asli jika p tidak sama dengan 0.

Mari kita asumsikan bahwa soal ingin menyatakan bahwa salah satu akarnya adalah $\alpha$, dan kita perlu mencari $\alpha$ jika p =/= 0. Dalam kasus ini, kita tidak bisa menentukan nilai p secara langsung dari informasi bahwa $\alpha$ adalah akar.

Jika soal tersebut bermaksud bahwa salah satu akar adalah salah satu dari koefisien atau konstanta dalam persamaan, kita bisa menguji.

Kemungkinan lain adalah soal tersebut salah ketik. Jika kita mengasumsikan bahwa salah satu akar adalah salah satu nilai spesifik yang tidak bergantung pada p, atau jika ada hubungan lain.

Jika kita harus mencari akar-akar persamaan kuadrat $2x^2 + (2 - p)x + p = 0$ dengan p =/= 0, kita bisa menggunakan rumus kuadrat atau faktorisasi jika memungkinkan. Namun, tanpa mengetahui nilai p atau hubungan lain, kita tidak dapat menemukan nilai numerik akar.

Jika kita menganggap bahwa ada kesalahan penulisan pada soal dan salah satu akarnya adalah suatu nilai tertentu, misalnya x=1 atau x=-1, kita bisa mencoba.

Jika x=1 adalah akar:
$2(1)^2 + (2-p)(1) + p = 0$
$2 + 2 - p + p = 0$
$4 = 0$, yang kontradiksi. Jadi x=1 bukan akar.

Jika x=-1 adalah akar:
$2(-1)^2 + (2-p)(-1) + p = 0$
$2 - (2 - p) + p = 0$
$2 - 2 + p + p = 0$
$2p = 0$
$p = 0$, yang juga kontradiksi dengan syarat p =/= 0.

Jika kita harus mencari akar-akar berdasarkan p, maka:
$x = \frac{-(2-p) \pm \sqrt{(2-p)^2 - 4(2)(p)}}{2(2)}$
$x = \frac{p-2 \pm \sqrt{4 - 4p + p^2 - 8p}}{4}$
$x = \frac{p-2 \pm \sqrt{p^2 - 12p + 4}}{4}$

Karena soal menyatakan 'Salah satu akar persamaankuadrat ... adalah.', dan kemudian meminta 'tentukan akar-akar persamaan kuadrat tersebut', ini menyiratkan bahwa kita seharusnya bisa menemukan akar-akarnya. Jika informasi 'salah satu akar ... adalah' tidak memberikan nilai spesifik, maka soalnya kurang spesifik untuk menemukan akar-akar numerik.

Mari kita asumsikan bahwa ada informasi yang hilang atau salah ketik, dan jika soal itu mengimplikasikan bahwa salah satu akar dapat ditentukan tanpa mengetahui nilai p secara eksplisit, mungkin ada cara lain.

Jika kita melihat kembali $p^2 + 2p - p^2 + 2p = 0$ yang kita dapatkan dari substitusi $\alpha = p/2$, dan ini menghasilkan $4p = 0$, yang berarti $p=0$. Jika soal bersikeras bahwa p =/= 0, maka $\alpha = p/2$ tidak bisa menjadi akar. 

Asumsi lain: mungkin 'salah satu akar' merujuk pada nilai 'p' itu sendiri atau 'p/2' atau sejenisnya yang secara aljabar dapat diselesaikan.

Jika kita menganggap bahwa soal tersebut benar dan salah satu akar dari $2x^2 + (2-p)x + p = 0$ adalah $\alpha$. Dan jika kita harus menemukan akar-akar dalam bentuk p, maka jawabannya adalah rumus di atas.

Jika soal tersebut bermaksud bahwa salah satu akar adalah konstanta, misalnya 1, -1, 2, -2, dsb., kita sudah mencoba 1 dan -1. Mari coba x=2:
$2(2)^2 + (2-p)(2) + p = 0$
$8 + 4 - 2p + p = 0$
$12 - p = 0$
$p = 12$

Jika p=12, maka persamaan menjadi $2x^2 + (2-12)x + 12 = 0$, atau $2x^2 - 10x + 12 = 0$. Dibagi 2 menjadi $x^2 - 5x + 6 = 0$. Faktorisasi menjadi $(x-2)(x-3) = 0$. Akarnya adalah x=2 dan x=3. Jadi, jika salah satu akar adalah 2, maka p=12 dan akar lainnya adalah 3.

Jika kita coba x=-2:
$2(-2)^2 + (2-p)(-2) + p = 0$
$8 - 4 + 2p + p = 0$
$4 + 3p = 0$
$3p = -4$
$p = -4/3$

Jika p = -4/3, persamaan menjadi $2x^2 + (2 - (-4/3))x - 4/3 = 0$
$2x^2 + (10/3)x - 4/3 = 0$
Kalikan 3: $6x^2 + 10x - 4 = 0$
Bagi 2: $3x^2 + 5x - 2 = 0$
Faktorisasi: $(3x - 1)(x + 2) = 0$. Akarnya adalah x=1/3 dan x=-2. Jadi, jika salah satu akar adalah -2, maka p=-4/3 dan akar lainnya adalah 1/3.

Karena soal tidak memberikan nilai spesifik untuk 'salah satu akar', dan hanya memberikan syarat p =/= 0, maka kita tidak bisa menentukan akar-akar secara numerik. Namun, jika kita diminta untuk mengekspresikan akar-akar dalam bentuk p, rumusnya sudah diberikan di atas.

Jika soal ini berasal dari konteks di mana ada informasi tambahan, atau jika ada asumsi standar untuk 'salah satu akar' dalam kasus seperti ini, itu perlu diketahui. Tanpa itu, kita hanya bisa memberikan akar dalam bentuk variabel p.

Jika kita harus memilih satu interpretasi yang paling mungkin dari soal yang ambigu ini: 'Salah satu akar persamaankuadrat 2x^2 + (2 -p)x + p = 0 adalah', dan kemudian 'tentukan akar-akar persamaan kuadrat tersebut', ini menyiratkan bahwa kita bisa menemukan nilai spesifik. Kesalahan paling mungkin adalah pada bagian 'Salah satu akar persamaankuadrat ... adalah.'. Jika kita mengabaikan bagian tersebut dan hanya diminta mencari akar dari $2x^2 + (2-p)x + p = 0$ untuk $p \neq 0$, kita tidak bisa menemukan nilai numerik. 

Kemungkinan soal ini ingin kita menemukan akar-akar dalam bentuk 'p'. Maka:
Akar-akarnya adalah $x_1 = \frac{p-2 + \sqrt{p^2 - 12p + 4}}{4}$ dan $x_2 = \frac{p-2 - \sqrt{p^2 - 12p + 4}}{4}$.

Jika kita kembali ke asumsi awal bahwa salah satu akar adalah $\alpha$, dan substitusi ke dalam persamaan menghasilkan $4p = 0$, maka $\alpha = p/2$ hanya bisa menjadi akar jika $p=0$. Karena $p \neq 0$, maka $\alpha = p/2$ bukanlah akar. Ini menyiratkan bahwa informasi 'Salah satu akar persamaankuadrat ... adalah.' tidak terpenuhi oleh $\alpha = p/2$ jika $p \neq 0$. 

Jika kita mengasumsikan soal ini adalah soal pilihan ganda dan salah satu pilihan jawaban mengarah pada penyelesaian tertentu, itu bisa membantu. Namun, tanpa itu, kita harus menyimpulkan bahwa akar-akar tidak dapat ditentukan secara numerik tanpa informasi tambahan mengenai salah satu akar atau nilai 'p'.