Salah satu faktor dari x^4+x^3-x-1 adalah . . . .

Salah satu faktornya adalah (x+1) atau (x-1).

Pembahasan

Untuk mencari faktor dari polinomial x^4+x^3-x-1, kita dapat mencoba memfaktorkan dengan pengelompokan atau menggunakan Teorema Faktor.

Metode 1: Pemfaktoran dengan Pengelompokan
Kelompokkan suku-suku:
x^4 + x^3 - x - 1 = (x^4 + x^3) - (x + 1)
Keluarkan faktor persekutuan dari setiap kelompok:
x^3(x + 1) - 1(x + 1)
Sekarang, keluarkan faktor persekutuan (x + 1):
(x + 1)(x^3 - 1)

Selanjutnya, kita bisa memfaktorkan (x^3 - 1) menggunakan rumus selisih kubik, yaitu a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).
Dalam kasus ini, a = x dan b = 1:
x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x(1) + 1^2)
x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)

Jadi, faktorisasi lengkap dari x^4+x^3-x-1 adalah:
(x + 1)(x - 1)(x^2 + x + 1)

Metode 2: Teorema Faktor (dengan mencoba nilai)
Misalkan P(x) = x^4+x^3-x-1.
Coba uji P(1):
P(1) = (1)^4 + (1)^3 - (1) - 1 = 1 + 1 - 1 - 1 = 0.
Karena P(1) = 0, maka (x - 1) adalah salah satu faktornya.

Coba uji P(-1):
P(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 - (-1) - 1 = 1 + (-1) - (-1) - 1 = 1 - 1 + 1 - 1 = 0.
Karena P(-1) = 0, maka (x + 1) adalah salah satu faktornya.

Dengan mengetahui bahwa (x-1) dan (x+1) adalah faktor, kita bisa melakukan pembagian polinomial atau pengelompokan seperti di atas. Hasilnya sama.

Salah satu faktor dari x^4+x^3-x-1 adalah (x+1), (x-1), atau (x^2+x+1).