Salah satu persamaan garis singgung

$2x - y - 5 = 0$ atau $2x + y - 11 = 0$

Pembahasan

Untuk menemukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+2x-6y-10=0$ di titik yang berabsis 3, kita perlu melakukan langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Cari nilai ordinat (y) dari titik pada lingkaran yang berabsis 3.
Substitusikan $x=3$ ke dalam persamaan lingkaran:
$3^2 + y^2 + 2(3) - 6y - 10 = 0$
$9 + y^2 + 6 - 6y - 10 = 0$
$y^2 - 6y + 5 = 0$

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:
$(y-1)(y-5) = 0$

Jadi, ordinatnya adalah $y=1$ atau $y=5$. Kita akan memiliki dua titik singgung: $(3, 1)$ dan $(3, 5)$. Mari kita cari persamaan garis singgung untuk kedua titik tersebut.

Langkah 2: Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran.
Persamaan lingkaran umum adalah $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, atau $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$. Pusatnya adalah $(-g, -f)$ dan jari-jarinya adalah $r = \\sqrt{g^2+f^2-c}$.
Dari persamaan $x^2+y^2+2x-6y-10=0$, kita punya $2g=2 \implies g=1$ dan $2f=-6 \implies f=-3$, serta $c=-10$.
Pusat lingkaran adalah $(-1, 3)$.
Jari-jari $r = \\sqrt{1^2 + (-3)^2 - (-10)} = \\sqrt{1 + 9 + 10} = \\sqrt{20}$.

Langkah 3: Gunakan rumus persamaan garis singgung.
Ada beberapa cara untuk mencari persamaan garis singgung. Salah satunya adalah menggunakan rumus $xx_1 + yy_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = 0$, di mana $(x_1, y_1)$ adalah titik singgung.

Kasus 1: Titik singgung $(3, 1)$.
Substitusikan $(x_1, y_1) = (3, 1)$, $g=1$, $f=-3$, $c=-10$ ke dalam rumus:
$x(3) + y(1) + 1(x+3) + (-3)(y+1) - 10 = 0$
$3x + y + x + 3 - 3y - 3 - 10 = 0$
$4x - 2y - 10 = 0$
Bagi dengan 2:
$2x - y - 5 = 0$
$y = 2x - 5$

Kasus 2: Titik singgung $(3, 5)$.
Substitusikan $(x_1, y_1) = (3, 5)$, $g=1$, $f=-3$, $c=-10$ ke dalam rumus:
$x(3) + y(5) + 1(x+3) + (-3)(y+5) - 10 = 0$
$3x + 5y + x + 3 - 3y - 15 - 10 = 0$
$4x + 2y - 22 = 0$
Bagi dengan 2:
$2x + y - 11 = 0$
$y = -2x + 11$

Jadi, salah satu persamaan garis singgungnya adalah $2x - y - 5 = 0$ atau $2x + y - 11 = 0$.

Jawaban Ringkas: $2x - y - 5 = 0$ atau $2x + y - 11 = 0$