Salah satu titik belok pada grafik fungsi y=akar(3) cos

Menentukan di mana turunan kedua fungsi sama dengan nol atau tidak terdefinisi.

Pembahasan

Untuk mencari titik belok pada grafik fungsi $y = \sqrt[3]{\cos x} - \sin x$, kita perlu mencari turunan kedua dari fungsi tersebut dan menentukan di mana turunan kedua sama dengan nol atau tidak terdefinisi, dan di mana tanda turunan kedua berubah.

Langkah 1: Cari turunan pertama ($y'$).
$y = (\cos x)^{1/3} - \sin x$
Menggunakan aturan rantai untuk $(\cos x)^{1/3}$: $\frac{d}{dx}(\cos x)^{1/3} = \frac{1}{3}(\cos x)^{-2/3} \times (-\sin x) = -\frac{\sin x}{3(\cos x)^{2/3}}$
Turunan dari $-\sin x$ adalah $-\cos x$.
Jadi, $y' = -\frac{\sin x}{3(\cos x)^{2/3}} - \cos x$.

Langkah 2: Cari turunan kedua ($y''$).
Kita perlu menurunkan $y'$ terhadap x. Ini akan melibatkan aturan hasil bagi dan aturan rantai.
Untuk suku pertama $-\frac{\sin x}{3(\cos x)^{2/3}}$:
Misalkan $u = -\sin x$ dan $v = 3(\cos x)^{2/3}$.
$u' = -\cos x$
$v' = 3 \times \frac{2}{3}(\cos x)^{-1/3} \times (-\sin x) = -2(\cos x)^{-1/3} \sin x$

Turunan suku pertama menggunakan aturan hasil bagi $\frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$\frac{(-\cos x)(3(\cos x)^{2/3}) - (-\sin x)(-2(\cos x)^{-1/3} \sin x)}{(3(\cos x)^{2/3})^2}$
$= \frac{-3\cos x(\cos x)^{2/3} - 2(\sin x)^2(\cos x)^{-1/3}}{9(\cos x)^{4/3}}$
$= \frac{-3(\cos x)^{5/3} - 2\sin^2 x(\cos x)^{-1/3}}{9(\cos x)^{4/3}}$
Kalikan pembilang dan penyebut dengan $(\cos x)^{1/3}$:
$= \frac{-3\cos x - 2\sin^2 x}{9(\cos x)^{5/3}}$
$= \frac{-3\cos x - 2(1-\cos^2 x)}{9(\cos x)^{5/3}}$
$= \frac{-3\cos x - 2 + 2\cos^2 x}{9(\cos x)^{5/3}}$

Turunan suku kedua $-\cos x$ adalah $-(-\sin x) = \sin x$.

Jadi, $y'' = \frac{2\cos^2 x - 3\cos x - 2}{9(\cos x)^{5/3}} + \sin x$

Untuk mencari titik belok, kita set $y'' = 0$.
$rac{2\cos^2 x - 3\cos x - 2}{9(\cos x)^{5/3}} + \sin x = 0$

Ini menjadi persamaan yang sangat kompleks untuk diselesaikan secara aljabar untuk menemukan nilai x. Soal ini kemungkinan meminta kita untuk mengidentifikasi kondisi atau bentuk dari x yang memenuhi persamaan tersebut, atau ada metode penyederhanaan yang terlewat.

*Mempertimbangkan pilihan jawaban yang tidak disediakan, kita tidak bisa menentukan nilai x secara spesifik.

*Jika kita mengasumsikan soal ini berasal dari konteks ujian di mana kalkulus tingkat lanjut atau penyelesaian numerik diharapkan, atau jika ada bentuk spesifik dari $y''=0$ yang dapat disederhanakan.

*Seringkali, soal seperti ini menguji pemahaman tentang bagaimana menemukan titik belok, yaitu dengan mencari di mana $y''=0$ atau $y''$ tidak terdefinisi.

*Tanpa pilihan jawaban, kita tidak dapat melanjutkan untuk menemukan nilai x yang spesifik. Namun, prosesnya adalah menurunkan dua kali dan menyetel hasilnya ke nol.