Sebuah jajargenjang dibentuk oleh 5a+2b dan a-3b. Jika

Panjang diagonal yang lebih panjang adalah √593.

Pembahasan

Panjang diagonal yang lebih panjang dari jajargenjang tersebut adalah 15.

Berikut adalah perhitungannya:
Panjang sisi-sisi jajargenjang adalah vektor a = 5a+2b dan b = a-3b.
Untuk mencari panjang diagonal, kita gunakan rumus:
|d1|^2 = |a+b|^2 = |(5a+2b)+(a-3b)|^2 = |6a-b|^2
|d2|^2 = |a-b|^2 = |(5a+2b)-(a-3b)|^2 = |4a+5b|^2

Kita gunakan |a|=2√2, |b|=3, dan sudut antara a dan b adalah π/4.
Nilai dot product a.b = |a||b|cos(θ) = (2√2)(3)cos(π/4) = 6√2 (1/√2) = 6.

Untuk diagonal yang lebih panjang, kita hitung |d2|^2:
|d2|^2 = |4a+5b|^2 = (4a+5b).(4a+5b)
= 16|a|^2 + 2(4a.5b) + 25|b|^2
= 16|a|^2 + 40(a.b) + 25|b|^2
= 16(2√2)^2 + 40(6) + 25(3)^2
= 16(8) + 240 + 25(9)
= 128 + 240 + 225
= 593

Perhitungan sebelumnya pada diagonal yang lebih panjang ternyata salah. Mari kita hitung kedua diagonal:

Diagonal 1 (d1 = a + b):
|d1|^2 = |a+b|^2 = |(5a+2b) + (a-3b)|^2 = |6a - b|^2
= (6a - b) . (6a - b)
= 36|a|^2 - 12(a.b) + |b|^2
= 36(2√2)^2 - 12(6) + 3^2
= 36(8) - 72 + 9
= 288 - 72 + 9
= 225
|d1| = √225 = 15

Diagonal 2 (d2 = a - b):
|d2|^2 = |a-b|^2 = |(5a+2b) - (a-3b)|^2 = |4a + 5b|^2
= (4a + 5b) . (4a + 5b)
= 16|a|^2 + 40(a.b) + 25|b|^2
= 16(2√2)^2 + 40(6) + 25(3)^2
= 16(8) + 240 + 25(9)
= 128 + 240 + 225
= 593
|d2| = √593 ≈ 24.35

Jadi, panjang diagonal yang lebih panjang adalah √593.