Sébuah wadah berbentuk setengah bola dengan diameter 24 cm.

a. Luas permukaan alkohol bagian atas adalah A = π(24h - h^2) cm^2. b. Laju perubahan luas permukaan adalah -0,012π cm^2/detik.

Pembahasan

a. Menentukan luas permukaan alkohol bagian atas:
Wadah berbentuk setengah bola dengan diameter 24 cm, sehingga jari-jarinya adalah R = 24/2 = 12 cm.
Permukaan alkohol bagian atas saat wadah terisi setinggi h cm akan berbentuk lingkaran.
Jari-jari lingkaran permukaan alkohol (r) dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras pada penampang setengah bola.
Misalkan R adalah jari-jari wadah, r adalah jari-jari permukaan alkohol, dan (R-h) adalah jarak dari pusat bola ke permukaan alkohol.
Maka berlaku: r^2 + (R-h)^2 = R^2
r^2 = R^2 - (R-h)^2
r^2 = R^2 - (R^2 - 2Rh + h^2)
r^2 = 2Rh - h^2

Luas permukaan alkohol bagian atas (A) adalah luas lingkaran dengan jari-jari r, yaitu A = πr^2.
Jadi, A = π(2Rh - h^2).
Substitusikan nilai R = 12 cm:
A = π(2 * 12 * h - h^2)
A = π(24h - h^2) cm^2.

b. Menghitung laju perubahan luas permukaan alkohol bagian atas pada saat tinggi alkohol 6 cm:
Kita diberikan informasi bahwa tinggi alkohol berkurang dengan laju 0,001 cm/detik. Ini berarti dh/dt = -0,001 cm/detik (negatif karena berkurang).
Kita perlu mencari dA/dt saat h = 6 cm.

Kita sudah memiliki rumus luas permukaan A = π(24h - h^2).
Sekarang kita turunkan A terhadap waktu (t) menggunakan aturan rantai:
dA/dt = d(π(24h - h^2))/dt
dA/dt = π * d(24h - h^2)/dt
dA/dt = π * (d(24h)/dt - d(h^2)/dt)
dA/dt = π * (24 * dh/dt - 2h * dh/dt)
dA/dt = π * (24 - 2h) * dh/dt

Sekarang substitusikan nilai h = 6 cm dan dh/dt = -0,001 cm/detik:
dA/dt = π * (24 - 2*6) * (-0,001)
dA/dt = π * (24 - 12) * (-0,001)
dA/dt = π * (12) * (-0,001)
dA/dt = -0,012π cm^2/detik.

Jadi, laju perubahan luas permukaan alkohol bagian atas pada saat tinggi alkohol 6 cm adalah -0,012π cm^2/detik. Tanda negatif menunjukkan bahwa luas permukaan tersebut berkurang.