Kelas 11Kelas 12mathKalkulus Diferensial
Sébuah wadah berbentuk setengah bola dengan diameter 24 cm.
Pertanyaan
Sébuah wadah berbentuk setengah bola dengan diameter 24 cm. Wadah tersebut berisi alkohol setinggi h cm, Oleh karena alkohol tersebut menguap, tinggi alkohol berkurang dengan laju 0,001 cm/detik. a. Tentukan luas permukaan alkohol bagian atas. b. Hitunglah laju perubahan luas permukaan alkohol bagian atas pada saat tinggi alkohol 6 cm.
Solusi
Verified
a. Luas permukaan alkohol bagian atas adalah A = π(24h - h^2) cm^2. b. Laju perubahan luas permukaan adalah -0,012π cm^2/detik.
Pembahasan
a. Menentukan luas permukaan alkohol bagian atas: Wadah berbentuk setengah bola dengan diameter 24 cm, sehingga jari-jarinya adalah R = 24/2 = 12 cm. Permukaan alkohol bagian atas saat wadah terisi setinggi h cm akan berbentuk lingkaran. Jari-jari lingkaran permukaan alkohol (r) dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras pada penampang setengah bola. Misalkan R adalah jari-jari wadah, r adalah jari-jari permukaan alkohol, dan (R-h) adalah jarak dari pusat bola ke permukaan alkohol. Maka berlaku: r^2 + (R-h)^2 = R^2 r^2 = R^2 - (R-h)^2 r^2 = R^2 - (R^2 - 2Rh + h^2) r^2 = 2Rh - h^2 Luas permukaan alkohol bagian atas (A) adalah luas lingkaran dengan jari-jari r, yaitu A = πr^2. Jadi, A = π(2Rh - h^2). Substitusikan nilai R = 12 cm: A = π(2 * 12 * h - h^2) A = π(24h - h^2) cm^2. b. Menghitung laju perubahan luas permukaan alkohol bagian atas pada saat tinggi alkohol 6 cm: Kita diberikan informasi bahwa tinggi alkohol berkurang dengan laju 0,001 cm/detik. Ini berarti dh/dt = -0,001 cm/detik (negatif karena berkurang). Kita perlu mencari dA/dt saat h = 6 cm. Kita sudah memiliki rumus luas permukaan A = π(24h - h^2). Sekarang kita turunkan A terhadap waktu (t) menggunakan aturan rantai: dA/dt = d(π(24h - h^2))/dt dA/dt = π * d(24h - h^2)/dt dA/dt = π * (d(24h)/dt - d(h^2)/dt) dA/dt = π * (24 * dh/dt - 2h * dh/dt) dA/dt = π * (24 - 2h) * dh/dt Sekarang substitusikan nilai h = 6 cm dan dh/dt = -0,001 cm/detik: dA/dt = π * (24 - 2*6) * (-0,001) dA/dt = π * (24 - 12) * (-0,001) dA/dt = π * (12) * (-0,001) dA/dt = -0,012π cm^2/detik. Jadi, laju perubahan luas permukaan alkohol bagian atas pada saat tinggi alkohol 6 cm adalah -0,012π cm^2/detik. Tanda negatif menunjukkan bahwa luas permukaan tersebut berkurang.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Laju Terkait, Aplikasi Turunan
Section: Laju Terkait
Apakah jawaban ini membantu?