Sederhanakan 2log(8)^(1/2) + 16log 1/4 + 4log 64

-5

Pembahasan

Untuk menyederhanakan ekspresi logaritma 2log(8)^(1/2) + 16log 1/4 + 4log 64, kita akan menggunakan sifat-sifat logaritma.

Sifat-sifat logaritma yang akan digunakan:
1. log_b (m^n) = n log_b m
2. log_b (1/m) = -log_b m
3. log_b b = 1
4. log_b (m*n) = log_b m + log_b n
5. log_(b^k) m = (1/k) log_b m

Mari kita sederhanakan setiap suku:

Suku pertama: 2log(8)^(1/2)
Kita bisa menulis ulang 8 sebagai 2^3:
= 2 log ( (2^3)^(1/2) )
= 2 log (2^(3/2))
Menggunakan sifat log_b (m^n) = n log_b m:
= 2 * (3/2) log 2
= 3 log 2
Jika basis logaritma adalah 10 (logaritma umum), maka hasilnya adalah 3 log 2.
Jika basis logaritma adalah 2 (logaritma natural atau basis spesifik lainnya), kita perlu tahu basisnya. Namun, jika diasumsikan basisnya adalah 10, kita biarkan seperti ini.

Suku kedua: 16log 1/4
Kita bisa menulis ulang 1/4 sebagai 4^(-1) atau (2^2)^(-1) = 2^(-2).
= 16 log (2^(-2))
= 16 * (-2) log 2
= -32 log 2

Suku ketiga: 4log 64
Kita bisa menulis ulang 64 sebagai 2^6:
= 4 log (2^6)
= 4 * 6 log 2
= 24 log 2

Sekarang, jumlahkan ketiga suku tersebut:
(3 log 2) + (-32 log 2) + (24 log 2)
= (3 - 32 + 24) log 2
= (-29 + 24) log 2
= -5 log 2

Jika logaritma yang dimaksud adalah logaritma dengan basis 10, maka hasilnya adalah -5 log 2.

Namun, seringkali dalam soal semacam ini, basis logaritma implisit adalah basis yang membuat perhitungan lebih sederhana, misalnya basis 2 atau basis 4 atau basis 8.

Mari kita coba asumsikan basis logaritma adalah 2 (²log):

Suku pertama: 2²log(8)^(1/2)
= 2 ²log( (2^3)^(1/2) )
= 2 ²log(2^(3/2))
= 2 * (3/2) ²log 2
= 3 * 1
= 3

Suku kedua: 16²log 1/4
= 16 ²log(2^(-2))
= 16 * (-2) ²log 2
= 16 * (-2) * 1
= -32

Suku ketiga: 4²log 64
= 4 ²log(2^6)
= 4 * 6 ²log 2
= 4 * 6 * 1
= 24

Jumlahkan ketiga suku tersebut:
3 + (-32) + 24
= 3 - 32 + 24
= -29 + 24
= -5

Sekarang, mari kita coba asumsikan basis logaritma adalah 4 (⁴log):

Suku pertama: 2⁴log(8)^(1/2)
8 = 4^(3/2) (karena 4^(3/2) = (2^2)^(3/2) = 2^3 = 8)
(8)^(1/2) = (4^(3/2))^(1/2) = 4^(3/4)
= 2 * ⁴log(4^(3/4))
= 2 * (3/4) ⁴log 4
= 2 * (3/4) * 1
= 6/4 = 3/2

Suku kedua: 16⁴log 1/4
1/4 = 4^(-1)
= 16 ⁴log(4^(-1))
= 16 * (-1) ⁴log 4
= 16 * (-1) * 1
= -16

Suku ketiga: 4⁴log 64
64 = 4^3
= 4 ⁴log(4^3)
= 4 * 3 ⁴log 4
= 4 * 3 * 1
= 12

Jumlahkan ketiga suku tersebut:
(3/2) + (-16) + 12
= 1.5 - 16 + 12
= 1.5 - 4
= -2.5

Mari kita coba asumsikan basis logaritma adalah 8 (⁸log):

Suku pertama: 2⁸log(8)^(1/2)
= 2 ⁸log(8^(1/2))
= 2 * (1/2) ⁸log 8
= 2 * (1/2) * 1
= 1

Suku kedua: 16⁸log 1/4
1/4 = 8^(-2/3) (karena (8^(-2/3)) = (2^3)^(-2/3) = 2^-2 = 1/4)
= 16 ⁸log(8^(-2/3))
= 16 * (-2/3) ⁸log 8
= 16 * (-2/3) * 1
= -32/3

Suku ketiga: 4⁸log 64
64 = 8^2
= 4 ⁸log(8^2)
= 4 * 2 ⁸log 8
= 4 * 2 * 1
= 8

Jumlahkan ketiga suku tersebut:
1 + (-32/3) + 8
= 9 - 32/3
= (27 - 32)/3
= -5/3

Dalam konteks soal matematika standar tanpa penyebutan basis, 'log' biasanya merujuk pada logaritma basis 10. Namun, hasil -5 log 2 tidak disederhanakan lebih lanjut tanpa nilai log 2. Jika kita melihat struktur soal dan pilihan jawaban yang mungkin, seringkali basisnya dipilih agar menghasilkan bilangan bulat atau pecahan sederhana.

Kemungkinan besar, basis yang dimaksud adalah 2, karena angka 8 dan 1/4 serta 64 semuanya merupakan pangkat dari 2, dan 2log(8)^(1/2) memiliki koefisien 2 yang memudahkan jika basisnya 2.

Jika kita menggunakan basis 2:
2²log(8)^(1/2) + 16²log(1/4) + 4²log(64)
= 2²log(2³)^(1/2) + 16²log(2⁻²) + 4²log(2⁶)
= 2 * (3/2) ²log 2 + 16 * (-2) ²log 2 + 4 * 6 ²log 2
= 2 * (3/2) * 1 + 16 * (-2) * 1 + 4 * 6 * 1
= 3 - 32 + 24
= -5

Ini adalah hasil yang paling mungkin jika basis logaritma adalah 2.