Selesaikanlah persamaan berikut untuk 0 <= x <= 2pi

$x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $2\sin(x+\frac{\pi}{3})\sin x = 1$ dalam rentang $0 \le x \le 2\pi$, kita akan menggunakan identitas trigonometri.

Pertama, mari kita jabarkan $\sin(x+\frac{\pi}{3})$:
$\sin(x+\frac{\pi}{3}) = \sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3}$
$= \sin x (\frac{1}{2}) + \cos x (\frac{\sqrt{3}}{2})$
$= \frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x$

Sekarang substitusikan kembali ke persamaan awal:
$2(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x)\sin x = 1$
$(\sin x + \sqrt{3}\cos x)\sin x = 1$
$\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x \cos x = 1$

Kita bisa menggunakan identitas $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ dan $\sin x \cos x = \frac{\sin(2x)}{2}$:
$\frac{1 - \cos(2x)}{2} + \sqrt{3}(\frac{\sin(2x)}{2}) = 1$
Kalikan kedua sisi dengan 2:
$1 - \cos(2x) + \sqrt{3}\sin(2x) = 2$
$\sqrt{3}\sin(2x) - \cos(2x) = 1$

Sekarang kita ubah bentuk $\sqrt{3}\sin(2x) - \cos(2x)$ ke bentuk $R\sin(2x - \alpha)$.
$R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = 2$.
Kita punya $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ dan $\sin \alpha = \frac{1}{2}$. Sudut $\alpha$ yang memenuhi adalah $\alpha = \frac{\pi}{6}$.

Maka persamaannya menjadi $2\sin(2x - \frac{\pi}{6}) = 1$
$\sin(2x - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Solusi untuk $\sin \theta = \frac{1}{2}$ adalah $\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ atau $\theta = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$.

Kasus 1: $2x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$
$2x = \frac{2\pi}{6} + 2k\pi$
$2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$
$x = \frac{\pi}{6} + k\pi$
Untuk $k=0$, $x = \frac{\pi}{6}$.
Untuk $k=1$, $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$.

Kasus 2: $2x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$
$2x = \frac{6\pi}{6} + 2k\pi$
$2x = \pi + 2k\pi$
$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$
Untuk $k=0$, $x = \frac{\pi}{2}$.
Untuk $k=1$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$.

Jadi, solusi dalam rentang $0 \le x \le 2\pi$ adalah $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{7\pi}{6}$, dan $\frac{3\pi}{2}$.