Seekor semut merayap dari suatu titik awal menyusuri rusuk

Untuk setiap pasangan titik awal dan akhir yang disebutkan, jumlah jalan terpendek adalah 6.

Pembahasan

Ini adalah soal kombinatorika mengenai pencarian jumlah jalan terpendek pada rusuk kubus. Kita akan menggunakan prinsip kombinasi untuk menghitungnya. Asumsikan rusuk kubus memiliki panjang 1 unit. Untuk bergerak dari satu titik ke titik lain pada kubus hanya melalui rusuk, jalan terpendek berarti kita hanya bergerak searah menuju tujuan, tanpa kembali atau menyimpang.

Setiap perpindahan dari satu titik ke titik lain pada kubus (misalnya dari A ke B, A ke D, atau A ke E) dapat dianggap sebagai satu langkah. Untuk mencapai titik lain, kita perlu menempuh sejumlah langkah tertentu yang sama dengan dimensi kubus (panjang, lebar, tinggi).

a. Titik awal D dan titik akhir H:
Untuk bergerak dari D ke H, kita perlu bergerak 1 langkah ke arah kanan (misal ke C), 1 langkah ke arah depan (misal ke G), dan 1 langkah ke arah atas (misal ke H, dari G). Jadi, total ada 3 langkah. Kita bisa menempuh langkah-langkah ini dalam urutan apa pun. Misalkan arah D ke C adalah 'Kanan' (K), D ke A adalah 'Depan' (D), dan D ke E adalah 'Atas' (A).
Untuk dari D ke H, kita perlu menempuh 1 langkah Kanan, 1 langkah Depan, dan 1 langkah Atas. Jumlah jalan terpendek adalah permutasi dari urutan langkah-langkah ini. Ini sama dengan menghitung berapa banyak cara kita bisa menyusun K, D, A. Jumlahnya adalah $3! = 3 	imes 2 	imes 1 = 6$ cara.

b. Titik awal F dan titik akhir D:
Untuk bergerak dari F ke D, kita perlu 1 langkah ke belakang (dari F ke E), 1 langkah ke kiri (dari E ke A), dan 1 langkah ke bawah (dari A ke D). Atau, 1 langkah ke belakang (F ke E), 1 langkah ke bawah (F ke B), 1 langkah ke kiri (B ke A), dst. Semua jalur terpendek akan melibatkan 3 langkah.
Jumlah jalan terpendek adalah $3! = 6$ cara.

c. Titik awal A dan titik akhir H:
Ini sama seperti kasus a, hanya titik awal dan akhir yang berbeda posisi, tetapi jarak dan jumlah langkah tetap sama (3 langkah). Jumlah jalan terpendek adalah $3! = 6$ cara.

d. Titik awal E dan titik akhir D:
Sama seperti kasus b, hanya berbeda titik awal dan akhir. Kita perlu 3 langkah untuk mencapai D dari E. Jumlah jalan terpendek adalah $3! = 6$ cara.

e. Titik awal C dan titik akhir E:
Dari C ke E, kita perlu 1 langkah ke belakang (C ke D), 1 langkah ke atas (D ke H), dan 1 langkah ke kiri (H ke G). Atau, 1 langkah ke kiri (C ke B), 1 langkah ke atas (B ke F), 1 langkah ke belakang (F ke E). Semua jalur terpendek melibatkan 3 langkah.
Jumlah jalan terpendek adalah $3! = 6$ cara.

Dalam semua kasus di atas, karena kita bergerak pada rusuk kubus dan mencari jalan terpendek, kita selalu membutuhkan 3 langkah (satu langkah untuk setiap dimensi: panjang, lebar, tinggi) untuk berpindah antar titik sudut yang berlawanan secara diagonal melalui rusuk. Jumlah jalan terpendek adalah jumlah cara kita bisa mengatur urutan 3 langkah tersebut, yang dihitung dengan permutasi $3!$.