Buktikan bahwa: 2x^2+xy-6y^2-5x+11y-3 habis dibagi x+2y-3

Hasil bagi dari $2x^2+xy-6y^2-5x+11y-3$ oleh $x+2y-3$ adalah $2x-3y+1$.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa $2x^2+xy-6y^2-5x+11y-3$ habis dibagi oleh $x+2y-3$, kita dapat menggunakan metode pembagian polinomial atau substitusi.

Metode Pembagian Polinomial:
Kita bagi $2x^2+xy-6y^2-5x+11y-3$ dengan $x+2y-3$.
Langkah 1: Bagi suku pertama dari pembilang ($2x^2$) dengan suku pertama dari pembagi ($x$), hasilnya adalah $2x$.
Langkah 2: Kalikan $2x$ dengan pembagi ($x+2y-3$), hasilnya adalah $2x^2 + 4xy - 6x$.
Langkah 3: Kurangkan hasil ini dari pembilang: $(2x^2+xy-6y^2-5x+11y-3) - (2x^2 + 4xy - 6x) = -3xy - 6y^2 + x + 11y - 3$.
Langkah 4: Bagi suku pertama dari hasil pengurangan ($-3xy$) dengan suku pertama dari pembagi ($x$), hasilnya adalah $-3y$.
Langkah 5: Kalikan $-3y$ dengan pembagi ($x+2y-3$), hasilnya adalah $-3xy - 6y^2 + 9y$.
Langkah 6: Kurangkan hasil ini dari hasil pengurangan sebelumnya: $(-3xy - 6y^2 + x + 11y - 3) - (-3xy - 6y^2 + 9y) = x + 2y - 3$.
Langkah 7: Bagi suku pertama dari hasil pengurangan ini ($x$) dengan suku pertama dari pembagi ($x$), hasilnya adalah $1$.
Langkah 8: Kalikan $1$ dengan pembagi ($x+2y-3$), hasilnya adalah $x+2y-3$.
Langkah 9: Kurangkan hasil ini dari hasil pengurangan sebelumnya: $(x+2y-3) - (x+2y-3) = 0$.

Karena sisanya adalah 0, maka $2x^2+xy-6y^2-5x+11y-3$ habis dibagi oleh $x+2y-3$.

Hasil bagi dari pembagian tersebut adalah $2x - 3y + 1$.

Metode Substitusi:
Misalkan $x+2y-3 = 0$, maka $x = 3-2y$. Substitusikan nilai $x$ ini ke dalam polinomial $2x^2+xy-6y^2-5x+11y-3$.
$2(3-2y)^2 + (3-2y)y - 6y^2 - 5(3-2y) + 11y - 3$
$= 2(9 - 12y + 4y^2) + 3y - 2y^2 - 6y^2 - 15 + 10y + 11y - 3$
$= 18 - 24y + 8y^2 + 3y - 2y^2 - 6y^2 - 15 + 10y + 11y - 3$
$= (8y^2 - 2y^2 - 6y^2) + (-24y + 3y + 10y + 11y) + (18 - 15 - 3)$
$= 0y^2 + 0y + 0$
$= 0$
Karena hasil substitusi adalah 0, maka polinomial tersebut habis dibagi oleh $x+2y-3$. Hasil baginya adalah $2x-3y+1$.