Segitiga ABC mempunyai titik A(1,1), B(0,-1) , dan C(4 ;

a. Dilatasi D berpusat di (2,-1) dengan faktor skala 3. b. Koordinat C' adalah (8,5). c. Gambar kedua segitiga pada bidang koordinat untuk visualisasi.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal dilatasi ini, kita perlu menentukan faktor skala dan pusat dilatasi, lalu menerapkannya pada titik C.

Diketahui:
Titik A(1,1) didilatasikan menjadi A'(-1,5)
Titik B(0,-1) didilatasikan menjadi B'(-4,-1)

Misalkan pusat dilatasi adalah D(a,b) dan faktor skalanya adalah k.
Rumus dilatasi: P'(x', y') = ( k(x-a) + a, k(y-b) + b )

a. Menentukan Dilatasi D (pusat dan faktor skala):
Untuk titik A:
A'(-1, 5) = ( k(1-a) + a, k(1-b) + b )
-1 = k - ka + a  ...(1)
5 = k - kb + b   ...(2)

Untuk titik B:
B'(-4, -1) = ( k(0-a) + a, k(-1-b) + b )
-4 = -ka + a     ...(3)
-1 = -k - kb + b  ...(4)

Dari persamaan (3), kita punya -4 = a(1-k). Jika kita bandingkan dengan persamaan (1) yang disederhanakan menjadi -1 = k + a(1-k), kita bisa substitusi a(1-k) = -4:
-1 = k + (-4)
k = -1 + 4
k = 3

Sekarang kita substitusikan nilai k = 3 ke persamaan (3) untuk mencari a:
-4 = a(1-3)
-4 = a(-2)
a = -4 / -2
a = 2

Selanjutnya, kita substitusikan nilai k = 3 dan a = 2 ke persamaan (2) untuk mencari b:
5 = 3 - 3b + b
5 = 3 - 2b
2b = 3 - 5
2b = -2
b = -1

Kita cek dengan persamaan (4):
-1 = -3 - 3(-1) + (-1)
-1 = -3 + 3 - 1
-1 = -1
Cocok.

Jadi, dilatasi D adalah dilatasi dengan pusat (2, -1) dan faktor skala 3.

b. Menentukan koordinat titik C':
Titik C adalah (4, 1). Dengan dilatasi D (pusat (2,-1), skala 3):
C'(x', y') = ( k(x-a) + a, k(y-b) + b )
C'(x', y') = ( 3(4-2) + 2, 3(1-(-1)) + (-1) )
C'(x', y') = ( 3(2) + 2, 3(1+1) - 1 )
C'(x', y') = ( 6 + 2, 3(2) - 1 )
C'(x', y') = ( 8, 6 - 1 )
C'(x', y') = ( 8, 5 )

Jadi, koordinat titik C' adalah (8, 5).

c. Menggambar segitiga ABC dan hasil dilatasinya:
1. Gambar titik A(1,1), B(0,-1), C(4,1) pada bidang koordinat.
2. Hubungkan titik-titik tersebut untuk membentuk segitiga ABC.
3. Gambar titik A'(-1,5), B'(-4,-1), C'(8,5) pada bidang koordinat yang sama.
4. Hubungkan titik-titik bayangan tersebut untuk membentuk segitiga A'B'C'.
5. Perhatikan bahwa segitiga A'B'C' adalah versi yang diperbesar dari segitiga ABC, dengan pusat dilatasi di (2,-1) dan sisi-sisinya sejajar dengan sisi segitiga ABC, serta jarak dari pusat dilatasi ke titik bayangan adalah 3 kali jarak dari pusat dilatasi ke titik aslinya.