Selesaikan bentuk limit trigonometri berikut: limit x->0

Limitnya adalah 8.

Pembahasan

Soal ini adalah tentang evaluasi limit trigonometri.
Bentuk limit yang diberikan adalah: 

Ketika x mendekati 0, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0 karena cos(0) = 1, sehingga 1 - cos(0) = 1 - 1 = 0, dan penyebutnya adalah 0² = 0.

Untuk menyelesaikan limit ini, kita bisa menggunakan beberapa metode:

Metode 1: Menggunakan Identitas Trigonometri
Kita tahu identitas trigonometri: 
Jadi, 
Substitusikan ke dalam limit:

Sekarang, kita tahu bahwa 
Oleh karena itu:

Metode 2: Menggunakan Aturan L'Hopital
Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita bisa menggunakan Aturan L'Hopital, yaitu menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah.

Turunan dari pembilang (1 - cos 4x) adalah: 
Turunan dari penyebut (x²) adalah: 

Maka, limitnya menjadi:

Sekali lagi, jika kita substitusikan x = 0, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
Kita terapkan Aturan L'Hopital lagi:

Turunan dari pembilang (4 sin 4x) adalah: 
Turunan dari penyebut (2x) adalah: 

Maka, limitnya menjadi:

Sekarang, substitusikan x = 0:

Kedua metode memberikan hasil yang sama.