Semua nilai x yang memenuhi ^sin x log (1/2sin 2x)=2

x = pi/4 + n*pi (dengan syarat sin x > 0)

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan ^sin x log (1/2sin 2x)=2, kita perlu menggunakan sifat-sifat logaritma dan identitas trigonometri.
Persamaan dapat ditulis sebagai:
log(1/2sin 2x) / log(sin x) = 2
Dengan asumsi basis logaritma adalah sama (misalnya, basis 10 atau e).
log(1/2sin 2x) = 2 log(sin x)
Menggunakan sifat logaritma (n log a = log a^n):
log(1/2sin 2x) = log((sin x)^2)
Karena logaritma bersifat satu-satu, kita dapat menyamakan argumennya:
1/2sin 2x = (sin x)^2
Menggunakan identitas trigonometri sin 2x = 2 sin x cos x:
1/2(2 sin x cos x) = (sin x)^2
sin x cos x = (sin x)^2
Pindahkan semua suku ke satu sisi:
(sin x)^2 - sin x cos x = 0
Faktorkan sin x:
sin x (sin x - cos x) = 0
Ini memberikan dua kemungkinan:
1) sin x = 0
   Ini terjadi ketika x = n * pi, di mana n adalah bilangan bulat. Namun, basis logaritma (sin x) tidak boleh 0 atau 1, jadi kita harus mengecualikan nilai-nilai ini.
2) sin x - cos x = 0
   sin x = cos x
   Bagi kedua sisi dengan cos x (dengan asumsi cos x != 0):
tan x = 1
Ini terjadi ketika x = pi/4 + n * pi, di mana n adalah bilangan bulat.
Kita juga perlu memeriksa domain logaritma: sin x > 0 dan 1/2sin 2x > 0.
Jika x = pi/4 + n*pi, maka sin x > 0.
Untuk n=0, x = pi/4. sin(pi/4) = 1/sqrt(2). sin(2*pi/4) = sin(pi/2) = 1. 1/2sin(2x) = 1/2. log(1/2) / log(1/sqrt(2)) = log(2^-1) / log(2^-1/2) = -1 / (-1/2) = 2. Jadi x = pi/4 memenuhi.
Untuk n=1, x = 5pi/4. sin(5pi/4) = -1/sqrt(2). Basis logaritma tidak boleh negatif.
Jadi, satu-satunya solusi yang memenuhi adalah x = pi/4 + n*pi di mana sin x > 0.