Seorang petani bermaksud memagari dua kandang berbentuk

Perhitungan standar minimisasi luas persegi panjang berdampingan menunjukkan nilai minimum pada x = 20 m dan y = 30 m, bukan pada nilai yang diberikan dalam soal.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa agar pagar kawat yang diperlukan sesedikit mungkin, maka persegi panjang itu memiliki lebar x = 15√2 m dan panjang y = 20√2 m, kita perlu menggunakan konsep turunan untuk mencari nilai minimum dari fungsi luas.

Diketahui:
Luas setiap kandang = 600 m².
Bentuk kandang adalah persegi panjang berdampingan yang identik.

Misalkan lebar setiap kandang adalah x dan panjang setiap kandang adalah y.
Karena ada dua kandang yang berdampingan, total luasnya adalah 2xy = 2 * 600 = 1200 m².
Dari sini, kita bisa menyatakan y dalam x: y = 1200 / (2x) = 600 / x.

Fungsi yang perlu diminimalkan adalah total panjang pagar kawat (K).
Perhatikan bahwa kandang tersebut berdampingan. Jika kita membayangkan kedua kandang tersebut bersebelahan, maka akan ada 3 sisi lebar (x) dan 2 sisi panjang (y) yang membentuk pagar luar, serta satu sisi pembatas di tengah yang juga selebar x.
Jadi, total panjang pagar kawat K adalah:
K = 3x + 2y

Substitusikan y = 600/x ke dalam persamaan K:
K(x) = 3x + 2 * (600 / x)
K(x) = 3x + 1200 / x

Untuk mencari nilai minimum K, kita perlu mencari turunan pertama K terhadap x (K'(x)) dan menyamakannya dengan nol:
K'(x) = d/dx (3x + 1200x⁻¹)
K'(x) = 3 - 1200x⁻²
K'(x) = 3 - 1200 / x²

Samakan K'(x) dengan 0:
3 - 1200 / x² = 0
3 = 1200 / x²
3x² = 1200
x² = 1200 / 3
x² = 400
x = √400
x = 20 m (Karena lebar tidak mungkin negatif)

Sekarang, kita cari nilai y menggunakan x = 20 m:
y = 600 / x
y = 600 / 20
y = 30 m

Nilai x dan y yang diperoleh adalah x = 20 m dan y = 30 m. Ini adalah nilai ketika pagar kawat minimum.

Namun, soal meminta untuk membuktikan bahwa lebar x = 15√2 m dan panjang y = 20√2 m. Mari kita periksa kembali asumsi tata letak kandang atau ada kesalahan dalam soal yang diberikan karena hasil perhitungan standar tidak sesuai dengan yang diminta.

Mari kita coba pendekatan lain jika kandang tersebut disusun sedemikian rupa sehingga total luas 1200 m² dibagi menjadi dua bagian.
Jika lebar total adalah 2x dan panjangnya y, maka luas 2xy = 1200, atau xy = 600. Pagar kawatnya K = 2y + 3x.
Jika lebar satu kandang x dan panjangnya y, maka luas xy = 600. Pagar kawatnya K = 2y + 3x.

Mari kita asumsikan soal memberikan nilai yang dimaksud adalah hasil dari suatu kondisi yang berbeda atau ada kekeliruan dalam nilai yang diberikan di soal.

Jika kita mengasumsikan bahwa nilai x=15√2 dan y=20√2 adalah benar, maka luas satu kandang adalah:
x * y = (15√2) * (20√2) = 15 * 20 * (√2 * √2) = 300 * 2 = 600 m².
Ini sesuai dengan luas yang diberikan.

Sekarang kita hitung total pagar kawat (K) dengan nilai x dan y tersebut:
K = 3x + 2y
K = 3 * (15√2) + 2 * (20√2)
K = 45√2 + 40√2
K = 85√2 m

Untuk membuktikan bahwa ini adalah minimum, kita perlu menggunakan uji turunan kedua. Dari K'(x) = 3 - 1200 / x².
K''(x) = d/dx (3 - 1200x⁻²)
K''(x) = 0 - 1200 * (-2)x⁻³
K''(x) = 2400 / x³

Karena x harus positif (lebar), maka K''(x) akan selalu positif. Ini berarti nilai x = 20 m yang kita dapatkan sebelumnya memang memberikan nilai minimum.

Kesimpulan:
Nilai x = 15√2 m dan y = 20√2 m yang diberikan dalam soal tampaknya tidak menghasilkan pagar kawat minimum berdasarkan perhitungan standar minimisasi luas persegi panjang berdampingan. Perhitungan standar menunjukkan nilai minimum tercapai pada x = 20 m dan y = 30 m. Mungkin ada informasi tambahan atau konteks yang hilang dari soal ini untuk mendukung klaim tersebut, atau ada kesalahan dalam nilai yang diberikan.