Himpunan penyelesaian dari persamaan sin x-sin 3x=0 dengan

{0°, 45°, 135°, 180°}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $\sin x - \sin 3x = 0$ dengan rentang $0 \le x \le 180^{\circ}$, kita dapat menggunakan identitas trigonometri atau mengubah bentuk persamaan.

Salah satu cara adalah dengan menggunakan identitas jumlah dan selisih sinus: $\sin A - \sin B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \sin(\frac{A-B}{2})$.

Menerapkan identitas ini pada persamaan $\sin x - \sin 3x = 0$:
$2 \cos(\frac{x+3x}{2}) \sin(\frac{x-3x}{2}) = 0$
$2 \cos(\frac{4x}{2}) \sin(\frac{-2x}{2}) = 0$
$2 \cos(2x) \sin(-x) = 0$

Karena $\sin(-x) = -\sin x$, maka:
$-2 \cos(2x) \sin x = 0$

Ini berarti $\cos(2x) = 0$ atau $\sin x = 0$.

Kasus 1: $\sin x = 0$
Dalam rentang $0 \le x \le 180^{\circ}$, $\sin x = 0$ ketika $x = 0^{\circ}$ dan $x = 180^{\circ}$.

Kasus 2: $\cos(2x) = 0$
Dalam rentang $0 \le 2x \le 360^{\circ}$, $\cos(2x) = 0$ ketika $2x = 90^{\circ}$ atau $2x = 270^{\circ}$.
Ini memberikan $x = 45^{\circ}$ dan $x = 135^{\circ}$.

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan $\sin x - \sin 3x = 0$ dengan $0 \le x \le 180^{\circ}$ adalah $0^{\circ}, 45^{\circ}, 135^{\circ}, 180^{\circ}$.