Seorang petani ingin memberikan pupuk pada tanaman padinya.

Rp 367.000

Pembahasan

Untuk menentukan biaya minimum, kita perlu menggunakan konsep program linear. Misalkan:
x = jumlah bungkus pupuk I
y = jumlah bungkus pupuk II

Kebutuhan Fosfor:
30x + 20y >= 600 (dibagi 10 menjadi 3x + 2y >= 60)

Kebutuhan Nitrogen:
30x + 40y >= 720 (dibagi 10 menjadi 3x + 4y >= 72)

Fungsi Tujuan (Biaya):
Minimumkan Z = 17.500x + 14.500y

Kita perlu mencari nilai x dan y yang memenuhi kendala dan meminimalkan Z.

Titik potong kendala:
1) 3x + 2y = 60
2) 3x + 4y = 72

Kurangkan persamaan (1) dari (2):
(3x + 4y) - (3x + 2y) = 72 - 60
2y = 12
y = 6

Substitusikan y = 6 ke persamaan (1):
3x + 2(6) = 60
3x + 12 = 60
3x = 48
x = 16

Jadi, titik potongnya adalah (16, 6).

Kita juga perlu memeriksa titik potong dengan sumbu x dan y:
Jika y = 0 pada 3x + 2y = 60, maka 3x = 60, x = 20. Titik (20, 0).
Jika x = 0 pada 3x + 2y = 60, maka 2y = 60, y = 30. Titik (0, 30).

Jika y = 0 pada 3x + 4y = 72, maka 3x = 72, x = 24. Titik (24, 0).
Jika x = 0 pada 3x + 4y = 72, maka 4y = 72, y = 18. Titik (0, 18).

Sekarang kita evaluasi fungsi tujuan Z = 17.500x + 14.500y pada titik-titik sudut yang layak:

Titik (16, 6):
Z = 17.500(16) + 14.500(6) = 280.000 + 87.000 = 367.000

Titik (24, 0) (memenuhi 3x + 4y >= 72, tapi tidak 3x + 2y >= 60 karena 3(24) = 72 > 60): Jika y=0, maka 3x >= 60 -> x>=20 dan 3x>=72 -> x>=24. Jadi titik yang relevan adalah (24,0).
Z = 17.500(24) + 14.500(0) = 420.000

Titik (0, 30) (memenuhi 3x + 2y >= 60, tapi tidak 3x + 4y >= 72 karena 4(30) = 120 > 72): Jika x=0, maka 2y>=60 -> y>=30 dan 4y>=72 -> y>=18. Jadi titik yang relevan adalah (0,30).
Z = 17.500(0) + 14.500(30) = 435.000

Titik (0, 18) (memenuhi 3x + 4y >= 72, tapi tidak 3x + 2y >= 60 karena 2(18) = 36 < 60): Jika x=0, maka 2y>=60 -> y>=30 dan 4y>=72 -> y>=18. Jadi titik yang relevan adalah (0,30).

Titik (20, 0) (memenuhi 3x + 2y >= 60, tapi tidak 3x + 4y >= 72 karena 3(20) = 60 < 72): Jika y=0, maka 3x>=60 -> x>=20 dan 3x>=72 -> x>=24. Jadi titik yang relevan adalah (24,0).

Titik layak lainnya adalah titik potong sumbu y dengan kendala nitrogen (0,18) dan titik potong sumbu x dengan kendala fosfor (20,0). Namun, kita harus memilih titik yang memenuhi *semua* kendala. Titik potong sumbu y dengan kendala fosfor adalah (0,30) dan titik potong sumbu x dengan kendala nitrogen adalah (24,0).

Periksa kembali kendala dengan titik potong (16, 6):
Fosfor: 3(16) + 2(6) = 48 + 12 = 60 (terpenuhi)
Nitrogen: 3(16) + 4(6) = 48 + 24 = 72 (terpenuhi)

Biaya minimum terjadi pada titik (16, 6).
Biaya minimum = Rp 367.000.