Sisa pembagian polinom p(x) oleh (x^2-4) adalah (ax + b).

7

Pembahasan

Misalkan $p(x)$ adalah sebuah polinom. Diketahui bahwa sisa pembagian $p(x)$ oleh $(x^2 - 4)$ adalah $(ax + b)$.

Menurut teorema sisa, jika $p(x)$ dibagi oleh $(x-c)$, maka sisanya adalah $p(c)$.

Dari informasi yang diberikan:
1. Sisa pembagian $p(x)$ oleh $(x - 2)$ adalah 3. Maka, $p(2) = 3$.
2. Sisa pembagian $p(x)$ oleh $(x + 2)$ adalah -5. Maka, $p(-2) = -5$.

Kita juga tahu bahwa $p(x) = q(x)(x^2 - 4) + (ax + b)$, di mana $q(x)$ adalah hasil bagi.
Karena $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$, kita dapat menulis:
$p(x) = q(x)(x - 2)(x + 2) + (ax + b)$

Sekarang kita substitusikan nilai $x=2$ dan $x=-2$:

Untuk $x=2$:
$p(2) = q(2)(2 - 2)(2 + 2) + (a(2) + b)$
$p(2) = q(2)(0)(4) + (2a + b)$
$p(2) = 0 + 2a + b$
$p(2) = 2a + b$
Karena $p(2) = 3$, maka:
$2a + b = 3$ (Persamaan 1)

Untuk $x=-2$:
$p(-2) = q(-2)(-2 - 2)(-2 + 2) + (a(-2) + b)$
$p(-2) = q(-2)(-4)(0) + (-2a + b)$
$p(-2) = 0 - 2a + b$
$p(-2) = -2a + b$
Karena $p(-2) = -5$, maka:
$-2a + b = -5$ (Persamaan 2)

Sekarang kita memiliki sistem dua persamaan linear dengan dua variabel $a$ dan $b$:
1) $2a + b = 3$
2) $-2a + b = -5$

Untuk mencari nilai $a$ dan $b$, kita bisa menjumlahkan kedua persamaan tersebut:
$(2a + b) + (-2a + b) = 3 + (-5)$
$2a + b - 2a + b = -2$
$2b = -2$
$b = -1$

Setelah mendapatkan nilai $b$, kita substitusikan kembali ke salah satu persamaan (misalnya Persamaan 1):
$2a + b = 3$
$2a + (-1) = 3$
$2a - 1 = 3$
$2a = 3 + 1$
$2a = 4$
$a = 2$

Jadi, kita mendapatkan $a = 2$ dan $b = -1$.

Yang ditanyakan adalah nilai dari $4a + b$.
Substitusikan nilai $a$ dan $b$ yang telah kita temukan:
$4a + b = 4(2) + (-1)$
$4a + b = 8 - 1$
$4a + b = 7$

Jadi, nilai dari $4a + b$ adalah 7.