Suatu kurva y=f(x) memiliki gradien garis singgung

-26

Pembahasan

Untuk mencari nilai f(1) dari kurva y=f(x) yang memiliki gradien garis singgung df(x)/dx = 8x^(1/3) - 2x, kita perlu mengintegralkan gradien untuk mendapatkan fungsi f(x), lalu menggunakan informasi bahwa kurva bernilai 1 untuk x=8.

Langkah 1: Integralkan df(x)/dx untuk mendapatkan f(x).

f(x) = ∫ (8x^(1/3) - 2x) dx

Menggunakan aturan pangkat untuk integrasi (∫ xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C):

∫ 8x^(1/3) dx = 8 * [x^((1/3)+1) / ((1/3)+1)] + C1
= 8 * [x^(4/3) / (4/3)] + C1
= 8 * (3/4) * x^(4/3) + C1
= 6x^(4/3) + C1

∫ -2x dx = -2 * [x^(1+1) / (1+1)] + C2
= -2 * [x²/2] + C2
= -x² + C2

Jadi, f(x) = 6x^(4/3) - x² + C, di mana C = C1 + C2 adalah konstanta integrasi.

Langkah 2: Gunakan informasi f(8) = 1 untuk mencari nilai C.

Substitusikan x=8 dan f(x)=1 ke dalam persamaan f(x):

1 = 6(8)^(4/3) - (8)² + C

Hitung 8^(4/3):
8^(4/3) = (8^(1/3))⁴ = (2)⁴ = 16.

Sekarang substitusikan kembali:
1 = 6(16) - 64 + C
1 = 96 - 64 + C
1 = 32 + C
C = 1 - 32
C = -31

Jadi, fungsi f(x) adalah: f(x) = 6x^(4/3) - x² - 31.

Langkah 3: Hitung nilai f(1).

Substitusikan x=1 ke dalam fungsi f(x):

f(1) = 6(1)^(4/3) - (1)² - 31

Hitung 1^(4/3):
1^(4/3) = 1.

Sekarang substitusikan kembali:
f(1) = 6(1) - 1 - 31
f(1) = 6 - 1 - 31
f(1) = 5 - 31
f(1) = -26

Jadi, nilai f(1) adalah -26.