Tentukan akar-akar dan jumlah hasil kali akar-akar dari

Jumlah hasil kali akar-akar (berpasangan) adalah -15/4.

Pembahasan

Untuk persamaan polinomial 4x⁴ - 16x³ - 15x² + 18x - 24 = 0, kita dapat menggunakan Teorema Vieta untuk mencari hubungan antara akar-akar dan koefisiennya.
Misalkan akar-akarnya adalah α, β, γ, dan δ.

1.  **Jumlah Akar-akar:**
    Jumlah akar-akar (α + β + γ + δ) = - (koefisien x³) / (koefisien x⁴)
                                      = - (-16) / 4
                                      = 16 / 4
                                      = 4

2.  **Jumlah Hasil Kali Dua Akar:**
    (αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ) = (koefisien x²) / (koefisien x⁴)
                                       = -15 / 4

3.  **Jumlah Hasil Kali Tiga Akar:**
    (αβγ + αβδ + αγδ + βγδ) = - (koefisien x¹) / (koefisien x⁴)
                                  = - (18) / 4
                                  = -18 / 4
                                  = -9 / 2

4.  **Hasil Kali Keempat Akar:**
    (αβγδ) = (koefisien x⁰) / (koefisien x⁴)
            = -24 / 4
            = -6

Menemukan akar-akarnya secara eksplisit bisa rumit untuk polinomial derajat tinggi. Namun, jika kita perlu menemukan akar-akarnya, kita bisa mencoba menggunakan metode seperti pembagian sintetik dengan mencoba faktor-faktor dari konstanta (-24) dibagi dengan faktor-faktor dari koefisien utama (4). Setelah menemukan beberapa akar rasional (jika ada), kita bisa mereduksi polinomial ke derajat yang lebih rendah.

Mari kita coba beberapa kemungkinan akar rasional menggunakan Teorema Akar Rasional (p/q, di mana p adalah faktor dari -24 dan q adalah faktor dari 4).
Contoh: Coba x = 2
4(2)⁴ - 16(2)³ - 15(2)² + 18(2) - 24
= 4(16) - 16(8) - 15(4) + 36 - 24
= 64 - 128 - 60 + 36 - 24
= 100 - 212 = -112 (Bukan akar)

Coba x = -2
4(-2)⁴ - 16(-2)³ - 15(-2)² + 18(-2) - 24
= 4(16) - 16(-8) - 15(4) - 36 - 24
= 64 + 128 - 60 - 36 - 24
= 192 - 120 = 72 (Bukan akar)

Coba x = 3/2
4(3/2)⁴ - 16(3/2)³ - 15(3/2)² + 18(3/2) - 24
= 4(81/16) - 16(27/8) - 15(9/4) + 27 - 24
= 81/4 - 54 - 135/4 + 3
= (81 - 135)/4 - 51
= -54/4 - 51
= -27/2 - 102/2 = -129/2 (Bukan akar)

Coba x = -3/2
4(-3/2)⁴ - 16(-3/2)³ - 15(-3/2)² + 18(-3/2) - 24
= 4(81/16) - 16(-27/8) - 15(9/4) - 27 - 24
= 81/4 + 54 - 135/4 - 51
= (81 - 135)/4 + 3
= -54/4 + 3
= -27/2 + 6/2 = -21/2 (Bukan akar)

Tanpa menggunakan alat komputasi atau metode numerik, menemukan akar-akar eksplisit dari polinomial ini cukup sulit. Namun, kita telah menentukan jumlah akar-akar dan jumlah hasil kali akar-akar menggunakan Teorema Vieta.

Jumlah hasil kali akar-akarnya (jika yang dimaksud adalah jumlah hasil kali berpasangan) adalah -15/4.