Tentukan daerah penyelesaian dari permasalahan berikut.

Daerah penyelesaian adalah segiempat di kuadran pertama yang dibatasi oleh sumbu x (dari x=5 hingga x=10), garis $2x+3y=20$, sumbu y (dari y=5 hingga y=20/3), dan garis $x+y=5$.

Pembahasan

Untuk menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear:
1. $x + y \\ge 5$
2. $2x + 3y \\le 20$
3. $x \\ge 0$
4. $y \\ge 0$

Kita akan menganalisis setiap pertidaksamaan:

**1. $x + y \\ge 5$**
Garis batas: $x + y = 5$. Titik potong sumbu x (y=0): x=5 (titik (5,0)). Titik potong sumbu y (x=0): y=5 (titik (0,5)).
Karena $\\'\ge\\prime$, daerah penyelesaian berada di atas atau pada garis $x + y = 5$.
Uji titik (0,0): $0 + 0 \\ge 5$ (Salah). Jadi, daerahnya menjauhi (0,0).

**2. $2x + 3y \\le 20$**
Garis batas: $2x + 3y = 20$. Titik potong sumbu x (y=0): $2x = 20 \\implies x = 10$ (titik (10,0)). Titik potong sumbu y (x=0): $3y = 20 \\implies y = 20/3 \\approx 6.67$ (titik (0, 20/3)).
Karena $\\'\\le\\prime$, daerah penyelesaian berada di bawah atau pada garis $2x + 3y = 20$.
Uji titik (0,0): $2(0) + 3(0) \\le 20$ (Benar). Jadi, daerahnya menuju (0,0).

**3. $x \\ge 0$**
Daerah penyelesaian berada di kanan atau pada sumbu y.

**4. $y \\ge 0$**
Daerah penyelesaian berada di atas atau pada sumbu x.

**Menggabungkan semua pertidaksamaan:**
Daerah penyelesaian adalah area yang memenuhi keempat kondisi tersebut. Ini berarti kita mencari area di kuadran pertama (karena $x \\ge 0$ dan $y \\ge 0$), di atas garis $x+y=5$, dan di bawah garis $2x+3y=20$.

Untuk menggambarkan daerah penyelesaian:
*   Gambarkan garis $x+y=5$ yang melewati (5,0) dan (0,5).
*   Gambarkan garis $2x+3y=20$ yang melewati (10,0) dan (0, 20/3).
*   Karena $x \\ge 0$ dan $y \\ge 0$, kita fokus pada kuadran pertama.
*   Daerah $x+y \\ge 5$ berada di atas garis pertama.
*   Daerah $2x+3y \\le 20$ berada di bawah garis kedua.

Jadi, daerah penyelesaian adalah segitiga yang dibentuk oleh perpotongan ketiga garis di kuadran pertama, dengan batas-batas:
*   Sumbu y (untuk $x=0$), dari $y=5$ hingga $y=20/3$.
*   Garis $x+y=5$.
*   Garis $2x+3y=20$.

Titik-titik sudut daerah penyelesaian adalah:
1.  Perpotongan $x=0$ dan $x+y=5 \\implies (0, 5)$
2.  Perpotongan $x=0$ dan $2x+3y=20 \\implies (0, 20/3)$
3.  Perpotongan $x+y=5$ dan $2x+3y=20$.
    Dari $x+y=5$, kita punya $x = 5-y$.
    Substitusikan ke $2x+3y=20$:
    $2(5-y) + 3y = 20$
    $10 - 2y + 3y = 20$
    $10 + y = 20$
    $y = 10$
    Jika $y=10$, maka $x = 5-10 = -5$. Titik potongnya adalah (-5, 10), yang berada di luar kuadran pertama.
    Mari kita periksa kembali perhitungan titik potong garis batasnya. 
    *   Garis 1: $x+y=5$. Potong dengan sumbu x di (5,0), sumbu y di (0,5).
    *   Garis 2: $2x+3y=20$. Potong dengan sumbu x di (10,0), sumbu y di (0, 20/3).
    *   Syarat $x \\ge 0, y \\ge 0$ membatasi pada kuadran I.
    *   Daerah $x+y \\ge 5$ ada di atas garis (5,0)-(0,5).
    *   Daerah $2x+3y \\le 20$ ada di bawah garis (10,0)-(0, 20/3).

    Mari kita cari titik potong antara garis $x+y=5$ dan $2x+3y=20$:
    $x = 5 - y$
    $2(5-y) + 3y = 20$
    $10 - 2y + 3y = 20$
    $y = 10$
    $x = 5 - 10 = -5$. Titik potongnya adalah (-5, 10).
    
    Sepertinya ada kesalahan dalam interpretasi atau soalnya. Mari kita cek lagi daerahnya.
    Kita butuh daerah di kuadran pertama, di atas $x+y=5$ dan di bawah $2x+3y=20$.
    
    Titik potong sumbu x: (5,0) untuk garis 1, (10,0) untuk garis 2.
    Titik potong sumbu y: (0,5) untuk garis 1, (0, 20/3) untuk garis 2.
    
    Karena $x \\ge 0$ dan $y \\ge 0$, kita melihat di kuadran I.
    Daerah $x+y \\ge 5$ adalah di atas garis yang menghubungkan (5,0) dan (0,5).
    Daerah $2x+3y \\le 20$ adalah di bawah garis yang menghubungkan (10,0) dan (0, 20/3).
    
    Jadi, daerah penyelesaian dibatasi oleh:
    1.  Sumbu y dari y=5 sampai y=20/3 (titik (0,5) dan (0, 20/3)).
    2.  Garis $x+y=5$ antara titik (0,5) dan titik potongnya dengan garis kedua (jika berada di kuadran 1).
    3.  Garis $2x+3y=20$ antara titik (10,0) dan titik potongnya dengan garis pertama (jika berada di kuadran 1).
    
    Mari kita cari titik potong antara $x+y=5$ dan $2x+3y=20$ lagi. Ada kemungkinan saya salah menghitung.
    $x+y=5 \\implies x=5-y$
    $2(5-y) + 3y = 20$
    $10 - 2y + 3y = 20$
    $y = 10$
    $x = 5 - 10 = -5$. Titik potongnya adalah (-5, 10). Ini memang benar. Titik ini tidak relevan karena di luar kuadran 1.
    
    Ini berarti daerah penyelesaian adalah daerah di kuadran pertama yang dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, garis $x+y=5$ dan garis $2x+3y=20$.
    
    Mari kita periksa beberapa titik sudut:
    *   Titik (5,0): memenuhi $x+y=5$ dan $x \\ge 0, y \\ge 0$. Cek $2x+3y \\le 20$: $2(5)+3(0)=10 \\le 20$ (Benar).
    *   Titik (0,5): memenuhi $x+y=5$ dan $x \\ge 0, y \\ge 0$. Cek $2x+3y \\le 20$: $2(0)+3(5)=15 \\le 20$ (Benar).
    *   Titik (10,0): memenuhi $2x+3y=20$ dan $x \\ge 0, y \\ge 0$. Cek $x+y \\ge 5$: $10+0=10 \\ge 5$ (Benar).
    *   Titik (0, 20/3): memenuhi $2x+3y=20$ dan $x \\ge 0, y \\ge 0$. Cek $x+y \\ge 5$: $0 + 20/3 = 6.67 \\ge 5$ (Benar).
    
    Daerah penyelesaiannya adalah segiempat dengan titik sudut (5,0), (10,0), (0, 20/3), dan (0,5). 
    Ini adalah daerah yang dibatasi oleh:
    *   Sumbu x dari x=5 hingga x=10.
    *   Garis $2x+3y=20$ dari (10,0) ke (0, 20/3).
    *   Sumbu y dari y=20/3 ke y=5.
    *   Garis $x+y=5$ dari (0,5) ke (5,0).
    
    Ini adalah daerah di kuadran pertama, dibatasi oleh sumbu x ($y=0$) dari $x=5$ sampai $x=10$, garis $2x+3y=20$ dari $(10,0)$ ke $(0, 20/3)$, sumbu y ($x=0$) dari $y=20/3$ ke $y=5$, dan garis $x+y=5$ dari $(0,5)$ ke $(5,0)$.