Tentukan faktor-faktor linear polinomial berikut. a.

a. (x-1), (x+3), (x-2) b. (x+3), (2x+1), (x-3), (x+1)

Pembahasan

Untuk menentukan faktor-faktor linear dari polinomial, kita dapat menggunakan Teorema Sisa dan Teorema Faktor.

a. x³ - 7x + 6
Kita cari akar-akar rasional yang mungkin dengan membagi faktor konstanta (6) dengan faktor koefisien suku x³ (1). Faktor-faktor dari 6 adalah ±1, ±2, ±3, ±6. 
Coba x = 1: (1)³ - 7(1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0. Jadi, (x - 1) adalah faktor.
Coba x = -3: (-3)³ - 7(-3) + 6 = -27 + 21 + 6 = 0. Jadi, (x + 3) adalah faktor.
Coba x = 2: (2)³ - 7(2) + 6 = 8 - 14 + 6 = 0. Jadi, (x - 2) adalah faktor.
Karena polinomial berderajat 3, kita sudah menemukan ketiga faktor linearnya: (x - 1), (x + 3), dan (x - 2).

b. 2x⁴ + 3x³ - 17x² - 27x - 9
Faktor-faktor dari konstanta (-9) adalah ±1, ±3, ±9. Faktor-faktor dari koefisien x⁴ (2) adalah ±1, ±2. Akar rasional yang mungkin adalah ±1, ±3, ±9, ±1/2, ±3/2, ±9/2.
Coba x = -3: 2(-3)⁴ + 3(-3)³ - 17(-3)² - 27(-3) - 9 = 2(81) + 3(-27) - 17(9) + 81 - 9 = 162 - 81 - 153 + 81 - 9 = 0. Jadi, (x + 3) adalah faktor.
Coba x = -1/2: 2(-1/2)⁴ + 3(-1/2)³ - 17(-1/2)² - 27(-1/2) - 9 = 2(1/16) + 3(-1/8) - 17(1/4) + 27/2 - 9 = 1/8 - 3/8 - 34/8 + 108/8 - 72/8 = (1 - 3 - 34 + 108 - 72)/8 = 0/8 = 0. Jadi, (x + 1/2) atau (2x + 1) adalah faktor.
Coba x = -3 (lagi, karena mungkin ada faktor berulang): Kita sudah tahu (x+3) adalah faktor. Mari kita bagi polinomial dengan (x+3) terlebih dahulu.
(2x⁴ + 3x³ - 17x² - 27x - 9) / (x + 3) = 2x³ - 3x² - 8x - 3
Sekarang kita cari faktor dari 2x³ - 3x² - 8x - 3. Coba x = -1/2 lagi: 2(-1/2)³ - 3(-1/2)² - 8(-1/2) - 3 = 2(-1/8) - 3(1/4) + 4 - 3 = -1/4 - 3/4 + 1 = -4/4 + 1 = -1 + 1 = 0. Jadi, (2x + 1) adalah faktor.
Mari kita bagi (2x³ - 3x² - 8x - 3) dengan (2x + 1).
(2x³ - 3x² - 8x - 3) / (2x + 1) = x² - 2x - 3
Sekarang kita faktorkan x² - 2x - 3. Ini adalah (x - 3)(x + 1).
Jadi, faktor-faktor linear dari 2x⁴ + 3x³ - 17x² - 27x - 9 adalah (x + 3), (2x + 1), (x - 3), dan (x + 1).

Ringkasan:
a. Faktor linear dari x³ - 7x + 6 adalah (x - 1), (x + 3), (x - 2).
b. Faktor linear dari 2x⁴ + 3x³ - 17x² - 27x - 9 adalah (x + 3), (2x + 1), (x - 3), (x + 1).