Tentukan himpunan penyelesaian dari PtLSVNM berikut

Himpunan penyelesaiannya adalah x <= 1 atau x >= 7.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak | |2x+1 / x-2| - 1 | <= 2, kita perlu memecahnya menjadi beberapa kasus berdasarkan definisi nilai mutlak.

Langkah 1: Pecah nilai mutlak luar.
| |2x+1 / x-2| - 1 | <= 2
Ini berarti:
-2 <= |2x+1 / x-2| - 1 <= 2
Tambahkan 1 ke semua bagian:
-1 <= |2x+1 / x-2| <= 3

Karena nilai mutlak tidak pernah negatif, kondisi |-1 <= |2x+1 / x-2|| selalu terpenuhi. Jadi, kita hanya perlu fokus pada:
|2x+1 / x-2| <= 3

Langkah 2: Pecah pertidaksamaan nilai mutlak tunggal.
|2x+1 / x-2| <= 3
Ini berarti:
-3 <= (2x+1) / (x-2) <= 3

Kita perlu menyelesaikan dua pertidaksamaan:
a) (2x+1) / (x-2) <= 3
b) (2x+1) / (x-2) >= -3

Dan ingat bahwa penyebut (x-2) tidak boleh sama dengan nol, jadi x != 2.

Penyelesaian a): (2x+1) / (x-2) <= 3
(2x+1) / (x-2) - 3 <= 0
(2x+1 - 3(x-2)) / (x-2) <= 0
(2x+1 - 3x + 6) / (x-2) <= 0
(-x + 7) / (x-2) <= 0
Kalikan dengan -1 dan balikkan tanda ketidaksamaan:
(x - 7) / (x-2) >= 0
Ini terpenuhi ketika:
(x-7 >= 0 DAN x-2 > 0) ATAU (x-7 <= 0 DAN x-2 < 0)
(x >= 7 DAN x > 2) ATAU (x <= 7 DAN x < 2)
Himpunan penyelesaian untuk a) adalah: x < 2 atau x >= 7.

Penyelesaian b): (2x+1) / (x-2) >= -3
(2x+1) / (x-2) + 3 >= 0
(2x+1 + 3(x-2)) / (x-2) >= 0
(2x+1 + 3x - 6) / (x-2) >= 0
(5x - 5) / (x-2) >= 0
5(x - 1) / (x-2) >= 0
(x - 1) / (x-2) >= 0
Ini terpenuhi ketika:
(x-1 >= 0 DAN x-2 > 0) ATAU (x-1 <= 0 DAN x-2 < 0)
(x >= 1 DAN x > 2) ATAU (x <= 1 DAN x < 2)
Himpunan penyelesaian untuk b) adalah: x <= 1 atau x > 2.

Langkah 3: Gabungkan hasil dari a) dan b).
Kita perlu mencari irisan dari kedua himpunan penyelesaian:
Dari a): (-inf, 2) U [7, inf)
Dari b): (-inf, 1] U (2, inf)

Irisan dari kedua himpunan tersebut adalah:
(-inf, 1] U [7, inf)

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah x <= 1 atau x >= 7.