Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier

{ (5, 0, 1) }

Pembahasan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier tiga variabel (SPLTV) ini, kita dapat menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Persamaan yang diberikan adalah:
1. $a + 2b + c = 6$
2. $3a - b + 2c = 17$
3. $2a + b - c = 9$

Mari kita gunakan metode eliminasi:

Langkah 1: Eliminasi variabel c dari persamaan (1) dan (3).
   (1) $a + 2b + c = 6$
   (3) $2a + b - c = 9$
   Jumlahkan (1) dan (3):
   $(a+2a) + (2b+b) + (c-c) = 6+9$
   $3a + 3b = 15$
   Bagi dengan 3: $a + b = 5$  (Persamaan 4)

Langkah 2: Eliminasi variabel c dari persamaan (1) dan (2).
   Kalikan persamaan (1) dengan 2:
   $2(a + 2b + c) = 2(6) 
   $2a + 4b + 2c = 12$  (Persamaan 1')

   (2) $3a - b + 2c = 17$
   Kurangkan (1') dari (2):
   $(3a - 2a) + (-b - 4b) + (2c - 2c) = 17 - 12$
   $a - 5b = 5$  (Persamaan 5)

Langkah 3: Selesaikan SPLDV dari Persamaan (4) dan (5).
   (4) $a + b = 5$
   (5) $a - 5b = 5$
   Kurangkan (5) dari (4):
   $(a - a) + (b - (-5b)) = 5 - 5$
   $6b = 0$
   $b = 0$

Langkah 4: Substitusikan nilai b ke Persamaan (4) untuk mencari nilai a.
   $a + b = 5$
   $a + 0 = 5$
   $a = 5$

Langkah 5: Substitusikan nilai a dan b ke Persamaan (1) untuk mencari nilai c.
   $a + 2b + c = 6$
   $5 + 2(0) + c = 6$
   $5 + 0 + c = 6$
   $c = 6 - 5$
   $c = 1$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $(a, b, c) = (5, 0, 1)$.