Tentukan Himpunan Penyelesaian yang memenuhi sistem

Himpunan penyelesaiannya adalah (3, -2, 1).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel tersebut, kita dapat menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Mari kita gunakan metode eliminasi:

1. Persamaan (1): 3x + 2y - z = 4
2. Persamaan (2): 2x + 5y + 2z = -2
3. Persamaan (3): x - 3y + z = 10

Langkah 1: Eliminasi z dari Persamaan (1) dan (3).
Jumlahkan Persamaan (1) dan Persamaan (3):
(3x + 2y - z) + (x - 3y + z) = 4 + 10
4x - y = 14  (Persamaan 4)

Langkah 2: Eliminasi z dari Persamaan (1) dan (2).
Kalikan Persamaan (1) dengan 2:
2 * (3x + 2y - z) = 2 * 4
6x + 4y - 2z = 8  (Persamaan 5)
Jumlahkan Persamaan (5) dan Persamaan (2):
(6x + 4y - 2z) + (2x + 5y + 2z) = 8 + (-2)
8x + 9y = 6  (Persamaan 6)

Langkah 3: Eliminasi y dari Persamaan (4) dan (6).
Kalikan Persamaan (4) dengan 9:
9 * (4x - y) = 9 * 14
36x - 9y = 126 (Persamaan 7)
Jumlahkan Persamaan (7) dan Persamaan (6):
(36x - 9y) + (8x + 9y) = 126 + 6
44x = 132
x = 132 / 44
x = 3

Langkah 4: Substitusikan nilai x ke Persamaan (4) untuk mencari y.
4x - y = 14
4(3) - y = 14
12 - y = 14
-y = 14 - 12
-y = 2
y = -2

Langkah 5: Substitusikan nilai x dan y ke Persamaan (3) untuk mencari z.
x - 3y + z = 10
3 - 3(-2) + z = 10
3 + 6 + z = 10
9 + z = 10
z = 10 - 9
z = 1

Himpunan penyelesaiannya adalah (3, -2, 1).