Deret geometri U1, U2, U3, .. U12 dengan rasio 2>0 .

Nilai jumlah 12 suku pertama adalah 4095/64.

Pembahasan

Kita diberikan sebuah deret geometri U1, U2, U3, ..., U12 dengan rasio r > 0. Diketahui:
1. U2 + U3 = 4(U4 + U5)
2. U6 = 1

Kita perlu mencari nilai dari S12 = U1 + U2 + ... + U12.

Rumus umum suku ke-n pada deret geometri adalah Un = U1 * r^(n-1).

Mari kita ubah persamaan pertama menggunakan rumus suku ke-n:
U1*r + U1*r² = 4(U1*r³ + U1*r⁴)

Faktorkan U1*r dari sisi kiri dan U1*r³ dari sisi kanan:
U1*r(1 + r) = 4*U1*r³(1 + r)

Karena r > 0 dan kita asumsikan U1 ≠ 0 (karena U6 = 1), kita bisa membagi kedua sisi dengan U1*r(1+r), asalkan 1+r ≠ 0, yang pasti benar karena r>0.

1 = 4*r²

Sekarang, kita selesaikan untuk r²:
r² = 1/4

Karena r > 0, maka:
r = √(1/4)
r = 1/2

Sekarang kita punya rasio r = 1/2. Kita gunakan informasi U6 = 1 untuk mencari U1.
U6 = U1 * r^(6-1)
1 = U1 * (1/2)⁵
1 = U1 * (1/32)

Kalikan kedua sisi dengan 32 untuk mencari U1:
U1 = 32

Terakhir, kita hitung jumlah 12 suku pertama (S12) dari deret geometri ini. Rumus jumlah n suku pertama deret geometri adalah:
Sn = U1 * (1 - r^n) / (1 - r)

Masukkan nilai U1 = 32, r = 1/2, dan n = 12:
S12 = 32 * (1 - (1/2)¹²) / (1 - 1/2)
S12 = 32 * (1 - 1/4096) / (1/2)
S12 = 32 * (4095/4096) / (1/2)

S12 = 32 * (4095/4096) * 2
S12 = 64 * (4095/4096)

S12 = 4095 / 64

Jadi, nilai dari U1 + U2 + U3 + ... + U12 adalah 4095/64.