Tentukan jenis nilai stasioner fungsi f(x)=x^3-6x^2+9x+1

f(x)=x^3-6x^2+9x+1 memiliki maks di x=1, min di x=3. f(x)=x^4-4x^3 memiliki titik belok di x=0, min di x=3.

Pembahasan

Untuk menentukan jenis nilai stasioner fungsi menggunakan uji turunan kedua, kita perlu mencari turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut, lalu mencari titik stasioner dengan menyamakan turunan pertama dengan nol.

Fungsi 1: f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1
Turunan pertama: f'(x) = 3x^2 - 12x + 9
Samakan f'(x) = 0: 3x^2 - 12x + 9 = 0
Bagi dengan 3: x^2 - 4x + 3 = 0
Faktorkan: (x - 1)(x - 3) = 0
Titik stasioner: x = 1 atau x = 3

Turunan kedua: f''(x) = 6x - 12
Uji turunan kedua:
Jika x = 1: f''(1) = 6(1) - 12 = 6 - 12 = -6. Karena f''(1) < 0, maka di x = 1 terdapat nilai stasioner maksimum.
Jika x = 3: f''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6. Karena f''(3) > 0, maka di x = 3 terdapat nilai stasioner minimum.

Fungsi 2: f(x) = x^4 - 4x^3
Turunan pertama: f'(x) = 4x^3 - 12x^2
Samakan f'(x) = 0: 4x^3 - 12x^2 = 0
Faktorkan: 4x^2(x - 3) = 0
Titik stasioner: x = 0 (akar kembar) atau x = 3

Turunan kedua: f''(x) = 12x^2 - 24x
Uji turunan kedua:
Jika x = 0: f''(0) = 12(0)^2 - 24(0) = 0. Uji turunan kedua tidak dapat menentukan jenis nilai stasioner (perlu uji turunan pertama).
   Menggunakan uji turunan pertama di sekitar x=0:
f'(-1) = 4(-1)^3 - 12(-1)^2 = -4 - 12 = -16 (negatif)
f'(1) = 4(1)^3 - 12(1)^2 = 4 - 12 = -8 (negatif)
Karena f'(x) tetap negatif di sekitar x=0, maka di x=0 terdapat titik belok.
Jika x = 3: f''(3) = 12(3)^2 - 24(3) = 12(9) - 72 = 108 - 72 = 36. Karena f''(3) > 0, maka di x = 3 terdapat nilai stasioner minimum.

Kesimpulan:
Untuk f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1:
Nilai stasioner maksimum di x = 1.
Nilai stasioner minimum di x = 3.

Untuk f(x) = x^4 - 4x^3:
Titik belok di x = 0.
Nilai stasioner minimum di x = 3.