Tentukan koordinat titik ekstrim dari fungsi: f(x)=sin

Titik ekstrim maksimum adalah (2π/3, √3/3) dan titik ekstrim minimum adalah (4π/3, -√3/3).

Pembahasan

Untuk menentukan koordinat titik ekstrim dari fungsi f(x) = sin x / (2 + cos x) pada interval 0 ≤ x ≤ 2π, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan menentukan nilai-nilai x di mana turunannya adalah nol atau tidak terdefinisi.

Langkah 1: Cari turunan pertama f'(x) menggunakan aturan hasil bagi.
Aturan hasil bagi: (u/v)' = (u'v - uv') / v^2
Misalkan u = sin x, maka u' = cos x.
Misalkan v = 2 + cos x, maka v' = -sin x.

f'(x) = (cos x * (2 + cos x) - sin x * (-sin x)) / (2 + cos x)^2
f'(x) = (2 cos x + cos^2 x + sin^2 x) / (2 + cos x)^2
Karena cos^2 x + sin^2 x = 1, maka:
f'(x) = (2 cos x + 1) / (2 + cos x)^2

Langkah 2: Tentukan titik kritis dengan mencari nilai x di mana f'(x) = 0 atau f'(x) tidak terdefinisi.
F'(x) = 0 ketika pembilangnya nol:
2 cos x + 1 = 0
cos x = -1/2
Pada interval 0 ≤ x ≤ 2π, nilai x yang memenuhi cos x = -1/2 adalah x = 2π/3 dan x = 4π/3.

F'(x) tidak terdefinisi ketika penyebutnya nol:
(2 + cos x)^2 = 0
2 + cos x = 0
cos x = -2
Ini tidak mungkin karena nilai cosinus berada di antara -1 dan 1.

Langkah 3: Hitung nilai fungsi f(x) pada titik-titik kritis dan pada batas interval.
Titik kritis: x = 2π/3 dan x = 4π/3.
Batas interval: x = 0 dan x = 2π.

Untuk x = 0:
f(0) = sin(0) / (2 + cos(0)) = 0 / (2 + 1) = 0.

Untuk x = 2π/3:
cos(2π/3) = -1/2
sin(2π/3) = √3/2
f(2π/3) = (√3/2) / (2 + (-1/2)) = (√3/2) / (3/2) = √3 / 3.

Untuk x = 4π/3:
cos(4π/3) = -1/2
sin(4π/3) = -√3/2
f(4π/3) = (-√3/2) / (2 + (-1/2)) = (-√3/2) / (3/2) = -√3 / 3.

Untuk x = 2π:
f(2π) = sin(2π) / (2 + cos(2π)) = 0 / (2 + 1) = 0.

Langkah 4: Tentukan titik ekstrim.
Nilai maksimum: √3 / 3 terjadi pada x = 2π/3. Titik ekstrim maksimum adalah (2π/3, √3/3).
Nilai minimum: -√3 / 3 terjadi pada x = 4π/3. Titik ekstrim minimum adalah (4π/3, -√3/3).
Nilai di batas interval adalah 0.

Jadi, titik ekstrim adalah (2π/3, √3/3) dan (4π/3, -√3/3).

Langkah 5: Gambarkan sketsa grafik.
Grafik akan dimulai dari (0,0), naik ke titik maksimum (2π/3, √3/3), turun melewati titik minimum (4π/3, -√3/3), dan kembali ke (2π,0). Karena penyebut (2+cos x) selalu positif (antara 1 dan 3), fungsi ini tidak memiliki asimtot vertikal.

Sketsa grafik:
- Mulai dari (0,0).
- Naik mencapai puncak lokal di x = 2π/3 dengan nilai √3/3.
- Turun mencapai lembah lokal di x = 4π/3 dengan nilai -√3/3.
- Naik kembali ke (2π,0).

Koordinat titik ekstrim adalah (2π/3, √3/3) dan (4π/3, -√3/3).