Tentukan limit fungsi yang diberikan. limit x -> 0 (sin

Nilai limitnya adalah -2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita akan menggunakan metode perkalian sekawan karena jika kita substitusi langsung x=0, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.

Limit yang diberikan adalah:
lim (sin x) / (√(1-x) - 1) ketika x mendekati 0.

Langkah pertama adalah mengalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan dari penyebut, yaitu (√(1-x) + 1):

[ (sin x) / (√(1-x) - 1) ] * [ (√(1-x) + 1) / (√(1-x) + 1) ]

Ini menghasilkan:
(sin x)(√(1-x) + 1) / [ (√(1-x))^2 - 1^2 ]
= (sin x)(√(1-x) + 1) / (1 - x - 1)
= (sin x)(√(1-x) + 1) / (-x)

Kita bisa mengatur ulang ekspresi ini menjadi:
- (sin x / x) * (√(1-x) + 1)

Kita tahu bahwa limit dari (sin x / x) ketika x mendekati 0 adalah 1.
Jadi, kita dapat memisahkan limitnya:

lim [- (sin x / x) * (√(1-x) + 1)] ketika x mendekati 0
= [- lim (sin x / x)] * [lim (√(1-x) + 1)] ketika x mendekati 0

Substitusikan x = 0 ke dalam bagian kedua:
lim (√(1-x) + 1) = √(1-0) + 1 = √1 + 1 = 1 + 1 = 2.

Jadi, hasil akhirnya adalah:
= [-1] * [2]
= -2.

Oleh karena itu, nilai dari limit x -> 0 (sin x)/(akar(1-x) - 1) adalah -2.