Tentukan nilai lim x->tak hingga 3x^4+2x^3-5

Nilai limitnya adalah tak hingga.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai dari $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^4+2x^3-5x+4}{2x^3-4x^2+9}$, kita perlu menganalisis perilaku fungsi ketika x mendekati tak hingga. Dalam kasus limit fungsi rasional ketika x mendekati tak hingga, kita hanya perlu memperhatikan suku dengan pangkat tertinggi di pembilang dan penyebut.

Pembilang: $3x^4+2x^3-5x+4$. Suku dengan pangkat tertinggi adalah $3x^4$.

Penyebut: $2x^3-4x^2+9$. Suku dengan pangkat tertinggi adalah $2x^3$.

Jadi, limitnya dapat didekati dengan membandingkan kedua suku tersebut:

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^4}{2x^3}$

Sederhanakan suku tersebut:

$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{2}x$

Ketika x mendekati tak hingga, nilai dari $\frac{3}{2}x$ juga akan mendekati tak hingga.

Oleh karena itu, nilai dari limit tersebut adalah tak hingga.

Secara formal, kita bisa membagi setiap suku di pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari penyebut, yaitu $x^3$:

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^4}{x^3}+\frac{2x^3}{x^3}-\frac{5x}{x^3}+\frac{4}{x^3}}{\frac{2x^3}{x^3}-\frac{4x^2}{x^3}+\frac{9}{x^3}}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x+\frac{2}{1}-\frac{5}{x^2}+\frac{4}{x^3}}{2-\frac{4}{x}+\frac{9}{x^3}}$

Ketika $x \to \infty$, suku-suku seperti $\frac{5}{x^2}$, $\frac{4}{x^3}$, $\frac{4}{x}$, dan $\frac{9}{x^3}$ akan mendekati 0.

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x+2-0+0}{2-0+0}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x+2}{2}$

Karena pembilang terus bertambah tanpa batas sementara penyebutnya konstan (2), maka nilai limitnya adalah tak hingga.