Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut. lim

Nilai limitnya adalah (3√2 π) / 4.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit fungsi trigonometri lim x→π/4 (3x cos2x)/(cosx-sinx), kita dapat menggunakan metode substitusi langsung terlebih dahulu. Jika hasilnya adalah bentuk tak tentu (0/0), kita dapat menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.

Mengganti x dengan π/4:
Pembilang: 3(π/4) cos(2 * π/4) = (3π/4) cos(π/2) = (3π/4) * 0 = 0

Penyebut: cos(π/4) - sin(π/4) = (√2/2) - (√2/2) = 0

Karena hasilnya adalah bentuk tak tentu 0/0, kita akan menggunakan aturan L'Hopital. Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika lim x→c f(x)/g(x) menghasilkan bentuk tak tentu, maka limit tersebut sama dengan lim x→c f'(x)/g'(x).

Turunan dari pembilang (3x cos2x):
Misalkan u = 3x dan v = cos2x. Maka u' = 3 dan v' = -2sin2x.
Turunan pembilang = u'v + uv' = 3 cos2x + 3x (-2sin2x) = 3 cos2x - 6x sin2x

Turunan dari penyebut (cosx - sinx):
Turunan penyebut = -sinx - cosx

Menerapkan aturan L'Hopital:
lim x→π/4 (3 cos2x - 6x sin2x) / (-sinx - cosx)

Mengganti x dengan π/4:
Pembilang: 3 cos(2 * π/4) - 6(π/4) sin(2 * π/4) = 3 cos(π/2) - (3π/2) sin(π/2) = 3 * 0 - (3π/2) * 1 = -3π/2

Penyebut: -sin(π/4) - cos(π/4) = -(√2/2) - (√2/2) = -2(√2/2) = -√2

Jadi, nilai limitnya adalah (-3π/2) / (-√2) = (3π/2) * (1/√2) = 3π / (2√2) = (3√2 π) / 4.