Tentukan nilai limit untuk setiap fungsi berikut. lim x->0

Nilai limitnya adalah 1/3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan aturan L'Hôpital karena jika kita substitusikan x=0 langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.

lim x->0 (2x sin 3x) / (1 - cos 6x)

Turunkan pembilang dan penyebut secara terpisah terhadap x:
Turunan pembilang (2x sin 3x) menggunakan aturan perkalian (u'v + uv'):
(2)(sin 3x) + (2x)(cos 3x * 3) = 2 sin 3x + 6x cos 3x

Turunan penyebut (1 - cos 6x):
0 - (-sin 6x * 6) = 6 sin 6x

Sekarang kita hitung limit dari hasil turunan:
lim x->0 (2 sin 3x + 6x cos 3x) / (6 sin 6x)

Jika kita substitusikan x=0 lagi, kita masih mendapatkan bentuk 0/0. Jadi, kita perlu menerapkan aturan L'Hôpital sekali lagi.

Turunan pembilang (2 sin 3x + 6x cos 3x):
(2 cos 3x * 3) + [(6)(cos 3x) + (6x)(-sin 3x * 3)]
= 6 cos 3x + 6 cos 3x - 18x sin 3x
= 12 cos 3x - 18x sin 3x

Turunan penyebut (6 sin 6x):
6 cos 6x * 6 = 36 cos 6x

Sekarang hitung limit dari hasil turunan kedua:
lim x->0 (12 cos 3x - 18x sin 3x) / (36 cos 6x)

Substitusikan x = 0:
(12 cos(0) - 18(0) sin(0)) / (36 cos(0))
= (12 * 1 - 0) / (36 * 1)
= 12 / 36
= 1/3

Jadi, nilai limitnya adalah 1/3.